На первый взгляд, нейронные сети (НН) и классические уравнения математической физики — это две далекие вселенные. Одни нужны, чтобы распознавать кошек на картинках, другие — чтобы считать движение тепла или колебания пружин. Однако существует специальная техника под названием Нейронные сети, учитывающие физику (Physics Informed Neural Networks - PINNs), которая позволяет обучать нейронную сеть напрямую решать дифференциальные уравнения.
Вместо классического «собираем датасет и обучаемся на примерах» PINN использует саму форму уравнения и начально-граничные условия в качестве «учителя», подстраивая веса нейронной сети так, чтобы она удовлетворяла этому уравнению на случайных точках внутри области. Ниже я расскажу, почему это может быть эффективно, приведу пару интересных примеров (гармонический осциллятор и уравнение теплопроводности) и поделюсь личным мнением о перспективах подхода.
Почему PINN — это интересно?
🧩 Не нужно заморачиваться с сеткой
В обычных численных методах (конечные разности/элементы) мы строим сетку (mesh) для пространства и времени. Чем она плотнее, тем точнее решение, но и ресурсоёмкость выше. PINN же может работать по принципу «прогоняем точки в случайных местах», а потом «доучиваемся», не завися жёстко от структуры сетки.
🛠️ Универсальность для сложных геометрий
Если область расчёта имеет замысловатую форму (например, сложные очертания детали в инженерных задачах), генерация хорошей сетки бывает головной болью. А PINN просто «раположит» случайные точки внутри фигуры — это упрощает реализацию.
⚙️ Польза от прогресса в глубоком обучении (Deep Learning)
Все достижения в оптимизации и аппаратной поддержке (GPU, TPU) для нейросетей автоматически могут применяться к PINN. Если оптимизатор Adam научился быстрее сходиться на задаче распознавания лиц, то и ваши физические расчёты тоже выиграют от этого.
🌀 Легче исследовать неизвестное
Когда точное решение уравнения сложно получить аналитически, PINN может быстрее нащупать «похожее» решение, а затем мы интерпретируем результат. Это особенно востребовано в задачах с неидеальными (или неизвестными) граничными условиями.
Как это работает в общих чертах?
🔎 Идея:
Обычная нейронная сеть приближает некоторую функцию y(t,x,…). Мы «запрашиваем» значение сети в разных точках, подставляем это значение (и его производные) в уравнение, например L[y]=0. Остаток L[y] идёт в функцию потерь (loss), которую мы стремимся занулить. Дополнительно учитываются начальные и граничные условия, тоже как часть общей потери (loss).
🔎 Сценарий идеального выполнения процесса (Happy path):
Если всё правильно настроить (включая веса в функции потерь), сеть обучается так, что при подстановке ответа обратно в уравнение остаток близок к нулю. Значит, NN фактически «решила» ваше уравнение.
🔎 Учет граничных условий (Boundary/Initial Conditions):
Есть два подхода к учёту граничных условий:
- Добавлять штраф за несоблюдение условий (penalty term) в общую функцию потерь.
- Заранее «зашить» граничные условия в форму, которую выдаёт сеть (так называемый ansatz).
Простой пример: гармонический осциллятор
⚗️ Уравнение:
⚗️ Начальные условия:
С помощью библиотеки DeepXDE можно указать, что нейросеть «работает» на отрезке времени [0,1], добавить условия при t=0 и запустить оптимизатор. Удивительно, что для получения точного решения часто хватает пару десятков случайных точек внутри интервала и пары точек на границе.
✏️ Результат:
- При малом ξ система «колеблется» почти бесконечно (почти без затухания).
- При большом ξ колебаний нет — возврат к равновесию идёт монотонно.
- В критической точке ξ=1 получается максимально быстрая стабилизация без осцилляций.
Решаем уравнение теплопроводности
Если пойти дальше, можно «скормить» PINN более серьёзное уравнение:
🖥️ 2D-входы:
Теперь сеть принимает на вход два аргумента (t,x), а на выход — T(t,x).
🖥️ Инициально-граничные условия:
Допустим, при t=0 задана какая-то функция T0(x), а по краям стержня (x=0 и x=1) фиксирована температура 0.
🖥️ Результат:
Сеть легко восстанавливает «расползающуюся» во времени синусоидальную волну температуры, и снова — с минимумом точек (порядка нескольких тысяч), тогда как визуализация может потребовать сетку в десятки тысяч.
Личный взгляд и перспективы
Если поставить цель полностью заменить классические сеточные методы (например, конечные элементы), то PINN пока может проигрывать в производительности на больших задачах. Но есть несколько преимуществ:
💡 Удобство для сложных геометрий: не нужно вручную делать сетку вокруг деталей замысловатой формы.
💡 Меньше точек: иногда достаточно обучиться на сравнительно небольшом наборе точек и получить непрерывное решение.
💡 Интеграция с DL-инфраструктурой: любой апгрейд PyTorch, TensorFlow, оптимизаторов или GPU — на пользу и PINN.
С учётом того, насколько сильно развивается ИИ-сообщество, можно ожидать, что PINN станет всё более конкурентоспособной альтернативой традиционным методам. Особенно там, где требуется гибкость в учёте условий или нестационарной геометрии.
Ссылки на новость и дополнительные материалы
- Оригинальная статья об Overview PINN:
https://nchagnet.pages.dev/blog/physics-informed-neural-networks/ - Код и примеры:
Автор упоминает репозиторий на GitHub (ссылка есть на странице статьи).
Также рекомендуются библиотеки: DeepXDE и PinnDE Solver.
PINN — это один из тех «междисциплинарных мостов», когда мир глубоких нейронных сетей помогает решать классические задачи математической физики. А учитывая, как быстро прогрессируют и вычислительные мощности, и алгоритмы оптимизации, будущее у такого подхода, безусловно, очень перспективное.