Важные точки графика функции y = f(x):
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- нули функции;
- точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: lim f(x)=f(k)
x→k
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).
6. Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.
7. Промежутки знакопостоянства.
8. Асимптоты.
9. На основании проведенного исследования построить график функции.
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах:
Задача 1. Построим график функции
Как решаем:
Упростим формулу функции:
График функции — прямая y = x - 1 с выколотой точкой M (-1; -2).
Задача 2. Построим график функции
Как решаем:
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции
y=1/x
Задача 3. Построить графики функций:
а) y = 3x - 1
б) y = -x + 2
в) y = 2x
г) y = -1
Как решаем:
Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».
а) y = 3x - 1
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
б) y = -x + 2
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
в) y = 2x
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.
г) y = -1
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
1.
2.
3.
Как решаем:
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
1.Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины
2.Ветви вверх, следовательно, a > 0.
Точка пересечения с осью Oy — c > 0.
Координата вершины
Так как неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
3.Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c > 0.
Координата вершины
Так как неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.
Задача 5. Построить графики функций:
а) y = x² + 1
б)
в) y = (x - 1)² + 2
г)
д) y= -|2x+1|
Как решаем:
Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.
Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).
- y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;
- y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;
- y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;
- y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.
Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.
- Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.
- Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.
а)
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
y = x²
Сдвигаем график вверх на 1:
y = x² + 1
б)
Преобразование в одно действие типа f(x - a).
y= (корень)x
Сдвигаем график вправо на 1:
y=(корень)x−1
в) y = (x - 1)² + 2
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x - a), затем сложение f(x) + a.
y = x²
Сдвигаем график вправо на 1:
y = (x - 1)²
Сдвигаем график вверх на 2:
y = (x - 1)² + 2
г)
Преобразование в одно действие типа
y = cos(x)
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д)
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
А на этом все, всем хороших оценок и знаний.