Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.
Что особенного в Дзета-функции Римана? ВСЁ!!! И самой главной её особенностью является то, что до конца НИКТО НЕ МОЖЕТ ЕЁ ПОНЯТЬ! Важно то, что она, как драгоценный бриллиант, как диковинное созвездие, сияет на математическом небосклоне, являясь одной из величайших неразрешимых математических проблем тысячелетия. Свой краткий обзор я построю по книге видного популяризатора математики Джона Дербишира «Простая одержимость». Даже людям далёким от науки я очень рекомендую эту книгу к прочтению, где простым языком автор излагает довольно сложные вещи. В конце постараюсь дать свою оценку видения данной гипотезы.
Итак, в 1859 году немецкий математик Бернхард Риман, рассматривая задачу о распределении простых чисел, выдвигает свою знаменитую гипотезу,- «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй». Математика после этого уже никогда не была прежней.
Что из себя представляет Дзета-функция Римана? В каждой точке s она равна сумме ряда:
Этот бесконечный ряд сходится при s больших единицы. С помощью специальных математических приемов можно расширить эту функцию на всю комплексную плоскость — получится дзета-функция Римана. Причем в некоторых точках комплексной плоскости значения этой функции окажутся равны нулю, например, в отрицательных четных точках. Эти действительные нули называются тривиальными. Но кроме них есть и другие нули, комплексные — например, s = 0,5 ± 21,022040i. Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на линии Re=0,5 комплексной плоскости. Человеку далёкому от математики это ни о чём не говорит. В чём же важность этой функции?
Важность её в том, что она связывает собой разные разделы математики,- Арифметику (теория чисел), Алгебру (операции над полями), Анализ (исследование бесконечных рядов) и Геометрию. По-сути, эта функция связывает разные пространства.
Риман показал, что зная нетривиальные нули дзета-функции можно построить функцию распределения простых чисел (сколько есть простых чисел, не превышающих данное число). Необходимо отметить, что как сами простые числа (делятся только сами на себя и на единицу), так и проблема их распределения на числовой оси, волновала исследователей математики ещё с античных времён. Древние греки вообще приписывали простым числам мистический статус и считали их «атомами мироздания».
Известно, что двигаясь вперёд вдоль вещественной числовой оси, простые числа (их распределение) истощаются (их на каждую сотню становится всё меньше и меньше). Но при этом они никогда не кончаются. Их множество бесконечно. Об этом знал ещё Евклид.
Так вот, оказалось, что функцию распределения простых чисел π(x) можно выразить через дзета-функцию, и все свойства функции π некоторым образом закодированы в свойствах ζ-функции. Дзета-функция Римана в этом случае выступает этаким «мостом» между «прерывным» и «непрерывным», между счетом и измерением, между миром квантовым и миром классическим.
Почему в этой гипотезе ключевую роль играют именно простые числа? Дело в том, что любое целое число можно разложить на произведение простых, причем однозначным образом. При этом, распределение простых чисел на вещественной оси – это, по сути, простейшая модель случайных событий в нашей жизни. Простые числа в таком контексте становятся основными элементами и «первокирпичиками» любых чисел вообще. Революционные для физики идеи о квантовании энергии, нашли соответствие в революционных идеях математики о квантовании чисел посредством p-адических конструкций. С помощью введённых в обиход Куртом Гензелем p-адических степенных бесконечных рядов, любое число находило свою реализацию.
Каким образом становится возможным взаимосвязь между конечным (счётное простое число) и бесконечным (несчётное комплексное число)? Риман, по-сути, развил идеи Эйлера, и связал два бесконечных ряда. Один – по умножению ∏ (в качестве аргумента выступают простые числа), а другой – по сложению ∑ (комплексные аргументы). Эти два ряда и запечатлены на почтовой марке, взятой как заставка к этой публикации.
В математике такие соответствия между числами (где «умножение» соответствует «сложению») называют показательными или логарифмическими. И такие соответствия «рождали» числа трансцендентные, такие как π и e. Но здесь соответствия возникают между функциями посредством уже операторов. Причём, операторы не абы какие, а именно эрмитовы. Такие операторы связывают собой сопряжённые (т.е. зеркальные) комплексные конструкции – матрицы. Сам эрмитов оператор и играет роль такого «зеркала», через которое мнимый мир видит своё действительное отражение, а действительный мир, наоборот, - мнимое.
Интересен тот факт, что помимо бесконечного множества тривиальных нулей, получаемых аргументами от вещественных целых отрицательных чисел, дзета-функция Римана имеет также бесконечное множество нулей не тривиальных, соответствующих комплексным аргументам. И все эти нетривиальные нули ведут себя согласованно. Мало того, что их вещественные части лежат строго на вещественной прямой Re=½, так они ещё и имеют свойство «притягивать» и «отталкивать» друг друга.
Нетривиальные нули как бы закручивают комплексную плоскость в сходящуюся в бесконечности спираль, накладывая свои слои друг на друга.
Представить это в трёхмерном пространстве невозможно. Как невозможно представить и то, что при представлении оператором соответствий между комплексным аргументом (двумерное образование) и его комплексным значением (также двумерное образование), образуется точка. Пересечение двух плоскостей даёт точку только в четырёхмерном пространстве.
Примечателен ответ знаменитого математика Джона Конвея, когда его спросили о том, что делает гипотезу великой? Конвей сказал так: «Она должна быть возмутительной». Ну а в идеале, великая гипотеза комбинирует в себе компоненты из столь далеких друг от друга областей, которые вообще не встречались прежде в рамках одного утверждения. Словно поразительное сочетание ингредиентов в фирменном блюде какого-нибудь ресторана экзотической кухни…
Если же мы в чем-то и нуждаемся, так это в безумных идеях»…
Всего Вам доброго.