Когда говорят о квадратном уравнении, при его решении первое, что обычно приходит в голову - это нахождение корней по основной формуле корней квадратного уравнения или несколько других методов. Однако, решать некоторые квадратные уравнения можно гораздо быстрее и проще (даже устно) - через теорему Виета, а также значение корней можно быстро грубо оценить по коэффициентам и дискриминанту, через график квадратичной функции и т.д. На этой странице и обсуждаются способы устного решения, прикидки и оценки корней квадратного уравнения.
Теорема Виета
Теорема Виета формулируется так: если приведённое квадратное уравнение x²+px+q = 0 (ax², где a=1) имеет корни x1 и x2, то x1+x2 = -p и x1x2 = q, т.е. сумма корней равна числу обратному среднему (второму) коэффициенту, а их произведение равно свободному члену.
Доказательство (опирается на основную формулу квадратного уравнения).
◽x2+px+q=0
D=p2−4qx1=−p+D√2x2=−p−D√2x1+x2=−p+√D−p−D√2=−px1x2=(−p+√D)4=p2−D4=p2−p2+4q4=q◽
◽x2+px+q=0
D=p2-4qx1=-p+D2x2=-p-D2x1+x2=-p+D-p-D2=-px1x2=-p+D-p-D2×2=p-Dp+D4=p2-D4=p2-p2+4q4=q
◽Теперь докажем обратное.◽x2(−x1−x2)×x+x1×x2=x2−x×x1−x×x2+x1×x2=x×(x−x1)−x2×(x−x1)=(x−x1)×(x−x2)⇒[x=x1]x=x2
◽x2+-x1-x2×x+x1×x2=x2-x×x1-x×x2+x1×x2=x×x-x1-x2×x-x1=x-x1×x-x2⇒x=x1x=x2
◽Также из доказательства выше можно сделать интересный вывод о представлении квадратного уравнения и о его разложении на множители. Во-первых, зная корни уравнения, его можно легко разложить на множители (как показано выше). Во-вторых, квадратное уравнение можно кроме как в стандартной форме представить в факторизованной форме. В-третьих, это даёт представление о более общем свойстве свободного члена.
Посмотрев на квадратное уравнение в стандартной форме, можно быстро устно посчитать корни по теореме Виета (если оно не является приведённым, то можно разделить каждый член на старший коэффициент a - для небольших чисел это тоже можно проделать в уме). Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни.
Чтобы определить знаки корней, можно делать так:
- если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
- если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.
Исследование корней по коэффициентам и дискриминанту
Зависимость квадратичной функции от дискриминанта
В предложениях выше была представлена квадратичная функция и её свойства, а также основная формула корней квадратного уравнения. На двух темах выше, упоминается дискриминант квадратного трёхчлена (D=p²-4aq). Следует наконец разобраться в том, что такое дискриминант. Дискриминантом многочлена p(x) называется функция, задаваемая его коэффициентами и дающая информацию о природе его корней. Если точнее, то дискриминант - это произведение квадратов разностей корней многочлена, умноженное на старший коэффициент в степени на 2 меньше удвоенной степени многочлена. D(p)=a
2n−2n∏i<j(αi−αj)2
D(p)=an2n-2∏i<jαi-αjа
D(p)=a2n−2n∏i<j(αi−αj)2, D(p)=an2n-2∏i<jαi-αj2,где α1…αn-все корни многочлена;иan-старший коэффициент.
Дискриминант обычно обозначают D. Также дискриминант можно обозначать буквой греческого алфавита дельта Δ.
Он связан с такими понятиями как результант. Имеет много применений и важных свойств. Причём, дискриминант - это многочлен со всегда целыми коэффициентами (независимо от того, какие берутся корни), симметричный относительно корней изначального многочлена. Очевидно, дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда уравнение имеет кратные корни. Однако, дискриминант приобрёл наибольшую известность именно в связи с квадратными уравнениями, так как он очень полезен при нахождении корней этих самых уравнений, и формула, по которой он вычисляется для многочлена с такой низкой степенью (лишь второй), является достаточно несложной.
Поэтому наиболее часто слово дискриминант используется со значением дискриминант квадратного трёхчлена. Итак, в дальнейшем, под дискриминантом здесь будет подразумеваться именно это (особенно, учитывая тему этой страницы).
Следует начать, как водится, с того, что у квадратного уравнения гарантированно есть 2 корня на поле комплексных чисел (это, конечно, следует из основной теоремы алгебры). Так как корня у рассматриваемого уравнения два, то для нас дискриминант - квадрат разности корней или разница между ними. Иначе говоря, по дискриминанту в данном случае можно судить о разнице между корнями и о расстоянии от вершины параболы до нулей квадратичной функции - корней уравнения. Также дискриминант - квадрат. Из этих рассуждений можно сделать вывод о том, что по дискриминанту возможно понять, какие корни у уравнения (картинка выше).
Выводы (в зависимости от значения дискриминанта есть 3 случая):
- При D>0 у уравнения есть два действительных корня (разница между ними больше нуля). Зная разницу, сразу имеем представление о графике.
- При D=0 у уравнения есть два совпадающих корня - иногда также называют корнем кратности или двукратным в данном конкретном случае (разность равна нулю, следовательно значения корней равные).
- При D<0 (помня, что это квадрат, а корни по формуле вычисляются с дискриминантом под арифметическим квадратным корнем) у уравнения нет корней на множестве действительных чисел. У таких уравнений есть корни в расширении множества действительных чисел - на поле комплексных чисел.
Хотелось бы рассмотреть третий случай подробнее. При дискриминанте меньше 0 корней на множестве R
ℝ нет. Это очевидно при первом взгляде на основную формулу корней или определение дискриминанта, так, имеет место быть квадратный корень из отрицательного числа. Именно для таких случаев множество вещественных (действительных) чисел ℝ можно расширить до комплексных чисел C
ℂ.
Комплексное число (ударение на второй слог) - это число вида z=a+bi, где a,b ∈ ℝ и i ∈ ⅈ (представьте здесь большое I, так как это обозначение используется нечасто, и я не смог найти такого символа, i - это такая величина, для которой верно равенство i²=-1); a = ℜ(z) является вещественной частью z, и y = ℑ(z) является мнимой частью z. Если мнимая часть равна 0, то число является действительным (это частный случай комплексных чисел). Если же вещественная часть равна 0, то число является мнимым, а точнее чисто мнимым. Основной идеей здесь являются мнимые единицы. Как уже было сказано ранее, мнимая единица - это комплексное число, квадрат которого равен -1. Обычно обозначается i. Именно мнимые единицы позволяют расширить поле вещественных чисел до комплексных. Причиной расширения, если говорить об общем случае, является как раз то, что не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют корни в поле вещественных чисел. Однако, на поле комплексных чисел уже все многочлены имеют хотя бы одно решение (основная теорема алгебры).
Итак, корень квадратного уравнения в рассматриваемом случае не может быть полностью вещественен. Формулу корней квадратного уравнения тогда можно записать так: x=−b±ⅈ|D|
√2a
x=-b±ⅈD2a.
Кроме дискриминанта многое об уравнении и корнях можно сказать и просто, посмотрев на коэффициенты. Если квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.