Задача. Прямая АЕ образует равные углы со стороной ВС и медианой ВМ треугольника АВС (см. рис.). Найдите длину медианы ВМ, если ВЕ = 5, СЕ = 4. Решение. Пусть AE ∩ BM= K. ∠AKM = ∠BKE, как вертикальные. ∠AKM = ∠BEK по условию, значит, ∠BKE = ∠BEK => △BKE– равнобедренный и BK = BE= 5. Продлим медиану на свою длину, то есть возьмем на прямой BM точку D так, что MD= BM. Тогда △MBC= △MDA, по первому признаку(BM = MD по построению, AM= CM по определению медианы, ∠AMD= ∠BMC, как вертикальные) => AD = BC = 9, ∠ADM = ∠CBM. Обозначим для удобства: ∠BKE = ∠BEK = ∠AKD = x. Тогда ∠CBM = 180° – 2x, значит, ∠ADM = 180° – 2x. В △AKD: ∠ADM = 180° – 2x, ∠AKD = x => ∠KAD = x, значит, △AKD– равнобедренный, KD= AD= 9. BM + MD = BK + KD = 9 + 5 = 14 => BM = 7.
Задача.
Прямая АЕ образует равные углы со стороной ВС и медианой ВМ треугольника АВС (см. рис.). Найдите длину медианы ВМ, если ВЕ = 5, СЕ = 4.
Решение.
Пусть AE ∩ BM= K. ∠AKM = ∠BKE, как вертикальные. ∠AKM = ∠BEK по условию, значит, ∠BKE = ∠BEK => △BKE– равнобедренный и BK = BE= 5.
Продлим медиану на свою длину, то есть возьмем на прямой BM точку D так, что MD= BM. Тогда △MBC= △MDA, по первому признаку(BM = MD по построению, AM= CM по определению медианы, ∠AMD= ∠BMC, как вертикальные) => AD = BC = 9, ∠ADM = ∠CBM.
Обозначим для удобства: ∠BKE = ∠BEK = ∠AKD = x. Тогда ∠CBM = 180° – 2x, значит, ∠ADM = 180° – 2x.
В △AKD: ∠ADM = 180° – 2x, ∠AKD = x => ∠KAD = x, значит, △AKD– равнобедренный, KD= AD= 9.
BM + MD = BK + KD = 9 + 5 = 14 => BM = 7.