Условие
Решить неравенство
Решение
Условие заставляет настораживает нехорошими предчувствиями, но первый очевидный шаг – сделать стандартную замену переменной
Тогда:
Получаем:
Если дальше решать «в лоб», то надо раскрыть скобки в правой части неравенства перенести все в одну сторону, привести подобные слагаемые и решать полученное неравенство методом интервалов. При этом получится выражение 4 степени и с ним придется «попотеть»
У некоторых могут возникнуть трудности с возведением в квадрат суммы трех слагаемых. Поэтому сразу обсудим этот вопрос.
Для тех, кто не знает соответствующую формулу надо воспользоваться определением степени:
Но, все-таки, полезно и готовую формулу знать на память
Т.е. квадрат суммы равен сумме квадратов каждого слагаемого плюс удвоенные попарные произведения всех слагаемых
Решение «в лоб» приводит к сложному выражению, поэтому хочется придумать другой способ решения
Заметим, что в левой части можно вынести общий множитель 3 за скобки:
Выражения в скобках похожи, слагаемые слева – это квадраты соответствующих слагаемых справа. Понятно, что такие совпадения не случайны и это надо как-то применить.
Еще можно заметить, что каждая скобка является неполным квадратом суммы (такое выражение встречается в формуле сокращенного умножения – разность кубов)
Но в итоге (после ряда экспериментов) получилось решение, которое приводится здесь (поклонникам замены переменной посвящается).
Заметим, что в скобках переменная t и ее степени, числа 2 и его степени. Поэтому сделаем еще одну замену (чтобы увидеть главную структуру выражения):
Букву t можно было не переобозначать. Но все-таки сделаем это, в том числе и для себя, чтобы легче воспринимать выкладки
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Выражение стало существенно проще. Далее раскладываем на множители группировкой
Применили формулу разность кубов (для современных школьников редкая формула, поэтому запишем ее):
Вторая скобка – это неполный квадрат суммы. Дискриминант неполного квадрата суммы (разности) отрицательный (если в нем одна переменная). Поэтому такая скобка принимает или только положительные или только отрицательные значения. В нашем случае, эта скобка больше нуля, поэтому ее можно убрать из дальнейшего рассмотрения: положительные множители при сравнении с нулем можно не писать. Но сделаем это несколько иначе
Вернемся к переменной t:
Чтобы не делать письменных объяснений в решении про положительность второго множителя (неполный квадрат суммы) просто воспользуемся методом интервалов
Оказалось, что закрашена на числовой прямой одна точка, которая является ответом
Возвращаемся к переменной х:
Послесловие
Получилось, что решением неравенства является одно число.
Это нестандартный случай для неравенств формата ЕГЭ. Такое неравенство можно включать в тренировочные варианты при подготовке к ЕГЭ, но сомнительно, что такое неравенство стоит включать в официальный тренировочный вариант ЕГЭ (мнение автора)
Заметим, что к результату можно было прийти без метода интервалов, если обосновать, что вторая скобка в неравенстве принимает только положительные значения:
Проверка решения
Возвращаясь к странному ответу, захотелось себя проверить (ошибаются все; не ошибается только тот, кто ничего не делает). Ну и вообще самоконтроль – важный навык в занятиях математикой
Моя версия программы PhotoMath не решила данное неравенство
Поэтому обратимся к графическому решению. Воспользуемся сервисом Desmos:
Получаем такой результат:
Такая картинка не доказывает правильность решения, но она не противоречит полученному результату: график функции (в видимой части располагается выше оси Ох), неравенству удовлетворяет одна точка – точка касания с осью Ох. Проверяем, что это действительно точка, которую мы записали в ответ. Такое совпадение можно считать не случайным, поэтому надеемся, что приведенное решение вывело на правильный ответ.
P.S.
Я привел рассуждения, которые не претендуют на максимальную рациональность, но более-менее соответствуют знаниям стандартного школьника
Спасибо, что дочитали до конца - вы действительно интересуетесь школьной математикой