Андрей Фёдорович Третьяков родился в царской России семье простого крестьянина в селе Нижние Деревеньки (ныне – Льговский район Курской области) 1 сентября (19 августа по старому стилю) 1905 года. С ранних лет начал трудиться, помогая отцу. Учиться пошёл в 1914 году, в сельскую школу. Учеником был прилежным, юного Третьякова часто ставили в пример другим. Школу второй ступени окончил уже в советское время в городе Льгове.
В 15 лет Третьяков вступил в комсомол. В родном селе организовал комсомольскую ячейку, несколько лет был её секретарём, занимал должность председателя комитета бедноты, а с 17 лет стал работать в низовых структурах исполнительной власти – секретарем, зампредседателя волостного крестьянского комитета, заместителем главы Нижне-Деревеньского волисполкома.
Осенью 1924 года Третьякова направили учиться в Воронеж на медицинский факультет. Занятия в университете Андрей успешно сочетал не только с наукой, но и партийной работой, возможно, поэтому после выпуска в 1929 году его направили заведовать Тамбовским окружным здравотделом.
В 1930 году Тамбовский округ был упразднён, а Третьяков стал заниматься охраной здоровья населения в ранге заведующего райгорздравотделом в Щигровского района Центрально-Черноземной области. Это был один из самых больших районов в регионе, в нём проживало 123 тысяч человек. За пять лет работы Третьяков добился выделения району санитарного врача, чтобы побороть свирепствовавшие туберкулез и дифтерию, на период сельскохозяйственных работ организовывал сезонные пункты медицинской помощи, создал передвижной медико-санитарный отряд.
Успехи молодого управленца заметили и повысили, направив в Курск сначала в роли заведующего городским здравотделом, а в 1934 году после образования Курской области назначили заведующим Курским областным здравотделом. Особое внимание Третьяков уделял организации и укреплению здравоохранения в районах области. При нём в 1935 году в Курсе был открыт Медицинский университет.
В 1935-1939 годах Андрей Третьяков возглавлял здравоохранение Калининской (ныне – Тверской) области. Под его руководством в Калинине (Твери) и Ржеве начинают строиться больничные городки.
В 1939 году в Наркомздраве СССР образуется новое управление курортов и санаториев, возглавить его поручают курянину и отзывают из Калинина в Москву. Меньше чем через год – в феврале 1940 года – Президиум Верховного Совета РСФСР утверждает 35-летнего Андрея Третьякова на должность Наркома здравоохранения РСФСР.
На посту Наркома республики Андрей Фёдорович трудился шесть лет. На его долю выпало руководить ведомством в годы Великой Отечественной войны и послевоенного лихолетья. Третьякову пришлось налаживать организацию медицинского обеспечения тыла, создавать эвакуационные госпитали, бороться с эпидемиями, как в тылу, так и на освобожденных территориях.
После образования в июне 1946 года Министерства медицинской промышленности Третьяков назначается его руководителя и работает в должности министра до момента ликвидации структуры в 1948 году. Понять, почему так недолго просуществовало новое ведомство, может помочь докладная записка зампредседателя КПК при ЦК ВКП(б) Матвея Шкирятова члену Политбюро ЦК ВКП(б) Андрею Жданову от 8 декабря 1947 года, в которой сказано, что министерство медицинской промышленности создавалось для улучшения снабжения населения лекарствами, а их по-прежнему не хватает в аптеках. Делается вывод, что, видимо, оба министра надеются друг на друга и в результате никакой заботы ни о производстве медикаментов, ни о снабжении ими аптек. Третьякова упрекают в том, что получая для себя лекарства в аптеке при поликлинике Лечсануправления, он, как кажется автору записки, не знает положения дел в других аптеках и о населении не заботится.
Следующие пять лет Андрей Третьяков руководит Центральным государственным научно-исследовательским институтом курортологии Минздрава СССР, одновременно являясь старшим редактором издательства медицинской литературы.
В январе 1953 года Андрей Фёдорович назначается Министром здравоохранения СССР, фактически заменив на посту Ефима Ивановича Смирнова, которого в декабре 1952 сняли с формулировкой «за политическую беспечность в связи с «делом врачей». 5 марта 1953 года умирает Иосиф Сталин. В медицинском заключении о болезни и смерти вождя Третьяков поставил первую подпись.
В дальнейшем, как «сталинский» министр и личный врач Лаврентия Берии, Андрей Фёдорович попал в опалу нового политического руководства советской страны. 1 марта 1954 года – последний рабочий день Третьякова в должности Министра здравоохранения СССР. Последующие 11 лет он работает начальником управления врачебно-трудовой экспертизы Министерства социального обеспечения РСФСР.
С сентября 1965 года Третьяков на пенсии. Умер 22 мая 1966 года на 61-м году жизни. Похоронен Андрей Фёдорович Третьяков на Новодевичьем кладбище.
Андрей Фёдорович Третьяков проявил себя как крупный и яркий организатор, внёсший серьезный вклад в развитие советской системы здравоохранения: особое внимание уделял профилактике заболеваний, боролся с эпидемиями, во время Великой Отечественной войны занимался эвакуацией раненых.
Автор более 100 научных работ, в том числе книг: «Меры борьбы с сыпным тифом» (Казань, 1943), «Сроки лечения раненых в эвакогоспиталях» (Москва, 1944), «Социальное обеспечение» (Москва, 1965). Награжден двумя Орденами Ленина, Орденом «Знак Почета» и медалями.