Условие
На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 33 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета
Решение
Рассмотрим событие А - можно составить две чайные пары одного цвета
Возможно 3 варианта:
- две красные чайные пары
- две синие чайные пары
- одна синяя и одна красная чайная пара
Ответим на вопрос: как это может произойти?
Воспользуемся деревом вариантов
Сначала рассмотрим выбор двух блюдец с первой полки
Мы указали все варианты:
- первое блюдце красное и второе блюдце красное (КК)
- первое блюдце красное и второе блюдце синее (КС)
- первое блюдце синее и второе блюдце красное (СК)
- первое блюдце синее и второе блюдце синее (СС)
Для каждого из этих вариантов (выбрать два блюдца с первой полки) есть четыре варианта выбрать две чашки со второй полки, т.е. всего 16 вариантов. Это много. Поэтому укажем только те варианты (выбрать две чашки со второй полки), в результате которых произойдет интересующее нас событие А - можно составить две чайные пары одного цвета
Наиболее интересна ситуация с разноцветными чашками – обязательно надо учесть, что появляться они могут в разном порядке
Несколько другой способ учета оформления перебора вариантов и расчета вероятности интересующего события представлен в решении аналогичной задачи
Теперь вычислим вероятность события А - можно составить две чайные пары одного цвета
При этом важно выкладки проводить рационально, отдельно обратим на это внимание
Применяем теорему умножения вероятностей. Вероятность выбрать первое блюдце красного цвета равна 22/36, а вероятность после этого выбрать второе блюдце красного цвета равна 21/35, т.к. второе блюдце мы выбираем из оставшихся 35 блюдец (одно блюдце уже взяли) среди которых осталось 21 блюдце красного цвета (одно красное блюдце уже взяли).
Т.е. вероятность выбрать второе красное блюдце вычисляем как условную вероятность, с учетом того, что первое красное блюдце уже взяли
Аналогично для выбора чашек: первую красную чашку мы выбираем из всех чашек (всего 36 и из них 9 красных), а вторую чашку выбираем с учетом того, что первая чашка выбрана и она красного цвета (всего осталось 35 чашек и из них осталось 8 красных)
Аналогично получаем выражение для вероятности составить две чайные пары синего цвета (по теореме умножения вероятностей)
Запишем все выражения для вероятности составить две чайные пары разного цвета (по теореме умножения вероятностей)
Получилось четыре выражения, но легко заметить, что они отличаются только порядком множителей в числителях, значит они одинаковые. По теореме сложения вероятностей мы должны их сложить - получим вероятность составить две чайные разного цвета (одна синяя, одна красная). При сложении четырех одинаковых выражений перейдем к умножению на 4:
Для ответа на вопрос задачи (найти вероятность события А - можно составить две чайные пары одного цвета) надо по теореме сложения вероятностей найти сумму событий:
- две красные чайные пары
- две синие чайные пары
- две чайные пары разного цвета (одна синяя, одна красная)
Мы уже записали выражения для вероятности каждого из этих событий, там много дробей. Не надо торопиться их сокращать. Сейчас все выражения имеют одинаковые знаменатели.
Сокращать будем так, чтобы сохранить одинаковые знаменатели, т.е. каждое выражения сокращаем на одно и то же число.
Заметим, что каждое слагаемое можно сократить на 9 и на 7 (можно еще, но не будем торопиться, т.к. чисел много и легко ошибиться по невнимательности)
Перепишем выражение после первого сокращения и заметим, что каждое слагаемое еще можно сократить на 4 и на 3:
Получаем:
После сложения в числите еще сокращаем дробь на 3 и на 7 и получаем «хороший» ответ
Ответ: 0,29
Видео с решением этой задачи
Дополнительное задание
Задание 5. Вариант 12. Ященко И.В. 2025
На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета
Ответ: 0,38
Подписывайтесь на телеграмм канал: https://t.me/sinpixdv