Математический мир XIX века нередко представляют как эпоху элегантных формул и плавных кривых. Казалось бы, все уже давно построено на прочном фундаменте: бесспорная логика классического анализа, расцветающего на идеях Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница, подкреплена экспериментами и многочисленными приложениями в физике. Но внезапно в этот (почти) идеальный пейзаж вторгается нечто, что время от времени математики называли «чудовищем», «преступлением против здравого смысла» или даже «ужасным зигзагообразным созданием». Этим монстром оказалась функция, предложенная Карлом Вейерштрассом. Она полностью непрерывна — без единого разрыва, но при этом нигде не имеет производной. Прежде такое явление считалось невозможным.
В этой статье я расскажу, почему функция Вейерштрасса — это гораздо больше, чем красивая математическая «шутка». Она не только показала уязвимости классических представлений о математическом анализе, но и заложила основу современной теории измерений, фрактальной геометрии и даже финансовой математики. А ещё поделюсь собственным взглядом на то, как «монстры» в математике иногда становятся движущей силой прогресса.
«Простое» начало и головокружительный разворот
Когда Вейерштрасс был молод, он вряд ли думал о том, чтобы когда-то шокировать весь научный мир. Его юность проходила в типичных для того времени условиях: семья хотела, чтобы он изучал финансовое дело и готовился к бюрократической карьере. Но скука от подобных занятий толкала его к более увлекательным математическим задачам. Считается, что формально он получил статус «профессионального» математика только к 40 годам, зато очень быстро превратился в одного из главных реформаторов анализа.
Весь XIX век математики спорили о логических основах дифференциального и интегрального исчисления. Одни, как французские коллеги Вейерштрасса, больше ценили практические аспекты: главное, что калькуляция работала и прекрасно описывала физические явления — от движения планет до потоков тока. Другие же, немцы, стремились «разобрать анализ на детали» и проверить каждое утверждение на абсолютную строгость. Для этого они охотно искали примеры, которые выглядят как парадокс или даже как «урод», способный разрушить привычное интуитивное представление.
Один из таких «уродов» и создал Вейерштрасс. Классический анализ долгое время держался на «вере» в то, что всякая непрерывная функция (или почти любая из них) должна иметь участки, на которых можно провести касательные. С точки зрения большинства специалистов того времени, непрерывность и дифференцируемость шли рука об руку, за редким исключением «острых» точек, вроде вершины модуля |x|. Но Вейерштрасс продемонстрировал функцию, у которой в каждой точке нет производной. Её график при большом увеличении выглядит то ли как бесконечная зубчатая пила, то ли как неутомимый хаотичный зигзаг.
Технические детали: волны, гармоники и бесконечные ряды
Чтобы разобраться, как же такое возможно, давайте приоткроем завесу над самыми общими чертами построения этой «монструозной» функции (без излишнего углубления в формулы):
🔎 Базовый «строительный блок»:
Функция Вейерштрасса представляется в виде бесконечной суммы (ряда) простых гармонических функций, обычно косинусов, видоизменённых с помощью специальных коэффициентов. Каждая из этих волн «вписывается» в график функции, добавляя ей дополнительные колебания.
🪜 Масштабирование по вертикали и горизонтали:
Каждый следующий член ряда умножается на коэффициент, который делает его вклад чуть меньшим по высоте, но сильно увеличивает частоту колебаний по горизонтали. В результате новые «зубцы» появляются всё более мелкие, но они не исчезают совсем — их становится бесконечно много на любом участке прямой.
♾️ Итоговый портрет:
Бесконечное наложение волн рождает странную ситуацию: при сколь угодно сильном увеличении вы обнаружите, что функция «остроугольна» и изломанна. Нет ни одного места, где она была бы «похожа на прямую линию» даже локально, а значит, классическая производная не существует нигде.
Хотя сегодня мы называем такую конструкцию «красивой», в то время она казалась многим учёным отталкивающей и «бессмысленной» с прикладной точки зрения. Её даже называли «неприличным курьёзом». Но на самом деле именно она подорвала безоговорочное правило: «непрерывная функция почти везде дифференцируема». Теперь для анализа требовалась более серьёзная формализация.
Личный взгляд: почему «монстры» — это хорошо?
Мне кажется поразительным, что многие величайшие сдвиги в науке случались, когда кто-то находил «неподходящий» пример к общепринятому утверждению. Любой «парадокс» или «монстр» в науке — это, по сути, лакмусовая бумажка: он указывает на слабые места в наших определениях. Когда появляется аномалия, приходится пересматривать базовые принципы и формулировать их строже. В том же XIX веке работы Вейерштрасса и его «коллег по поиску контрпримеров» подтолкнули математику к созданию нового, более строгого языка описания пределов и непрерывности — так появились уже классические сегодня ε-δ-определения, на которых учатся все студенты.
От математических монстров к фракталам и финансовым рынкам
Если обратиться к дальнейшей истории, то станет ясно, что функция Вейерштрасса во многом предвосхитила фрактальную революцию XX века. Хотя именно Бенуа Мандельброт популяризировал термин «фрактал», уже в работе Вейерштрасса мы видим «самоподобие при масштабировании». В физике такой подход помогает моделировать множество процессов, где система колеблется хаотично на разных шкалах — например, броуновское движение частиц в жидкости.
Идеи о непрерывных, но недифференцируемых траекториях используют и в теории вероятностей, и в экономике для описания резких, непредсказуемых скачков на биржевых графиках. Да, реальный рынок, конечно, не всегда столь «идеально» зигзагоподобен, но впечатляющая детализация фракталов наводит на мысль, что природа не так уж плавна, как мы порой любим думать.
Итоги и значение
Таким образом, монстр Вейерштрасса — это не просто исторический курьёз. Он:
🧩 Стал ключевым элементом в осознании того, что непрерывность не гарантирует дифференцируемость.
🤯 Потряс математиков XIX века и заставил внести фундаментальные изменения в определения и доказательства внутри классического анализа.
🌱 Пророс в будущее через теорию фракталов, стохастическую математику и новые методики моделирования сложных систем.
Если раньше кто-то считал, что по-настоящему «дикие» объекты встречаются лишь в воображении, то Вейерштрасс доказал обратное: строгая логика может сконструировать нечто настолько «безумное», что привычные представления о плавности разбиваются вдребезги.
Ссылка на новость
- Основная новость (Quanta Magazine):
The Jagged, Monstrous Function That Broke Calculus (23 января 2025)
P.S. Функция Вейерштрасса — это замечательный пример того, как в науке иногда нужно «включить монстра», чтобы нащупать слабину в устаревших догмах. Именно такие парадоксы и «антипримеры» не дают математике застояться и позволяют ей развиваться, обретая всё более чёткие и глубокие формы.