Вопрос умножения матриц имеет свои особенности, причём весьма существенные.
Во-первых, как это парадоксально звучит для математики, но места в произведении, на которых стоят матрицы, имеют значение. То есть от перемены мест множителей (если это матрицы) решение может быть разным или не существовать вообще.
В виде выражения это выглядит так:
Во-вторых, и это очень важно, действие умножения матриц можно провести только при условии, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Нагляднее:
Здесь мы видим, что матрица А имеет три столбца, а матрица В имеет три строки. Соответственно их произведение возможно.
В примерах умножения матриц важно понять алгоритм этого процесса, несмотря на сложность формулировок. Для начала процесс умножения матриц лучше разбить на части.
Первое. Нужно определить размер будущей матрицы. Так меньше вероятность ошибиться.
Размер новой матрицы будет иметь количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.
Получается, что искомая матрица, назовём её С, будет иметь две строки и два столбца. На рисунке места элементов будущей матрицы С отмечены точками.
Второе.
Разделим первую матрицу на строки, а вторую на столбцы. Просто отчеркнём их для себя линиями.
Третье, и самое главное. Сам алгоритм умножения.
Для того, чтобы получить элемент новой матрицы, нужно последовательно сложить произведения чисел в строке первой матрицы на числа столбца второй матрицы.
Попробуем пошагово расписать ход умножения.
Примерно так, как выделено цветом, мы перемножаем элементы первой строки первой матрицы и первого столбца второй матрицы и складываем их. Вся длинная запись справа - это только один элемент искомой матрицы!
Далее мы берём первую строку первой матрицы, но перемножаем её элементы со вторым столбцом второй матрицы и получаем второй элемент матрицы С.
Теперь то же самой проделаем со второй строкой первой матрицы и получим следующее:
В результате мы получили четыре элемента новой матрицы. Не стоит пугаться, что они выглядят так длинно. Сейчас мы разберём умножение матриц в цифровом виде и будет понятно, что всё не так страшно.
Рассмотрим умножение матриц:
Специально возьмём все цифры в матрице разные, чтобы было понятнее, что с чем перемножается.
Итак, берём первую строку первой матрицы и последовательно перемножаем с элементами первого столбца второй матрицы.
Получили первый элемент третьей матрицы.
Теперь перемножаем и складываем элементы первой строки первой матрицы и второго столбца второй матрицы.
Получили второй элемент третьей матрицы.
Далее по тому же алгоритму действуем со второй строкой первой матрицы и первым столбцом второй матрицы.
Так же поступаем для заключительного элемента третьей матрицы.
Берём вторую строку первой матрицы и второй столбец второй матрицы.
Тоже запись достаточно громоздкая, но уже не такая страшная, как в изначальной буквенной формулировке.
Остаётся сделать несложные арифметические вычисления и получить окончательный результат:
Вот мы и получили окончательный ответ.