© С. Гурин, г. Рязань, Россия, 2025 г.
Уже более двух тысяч лет существует проблема пятого постулата Евклида. Который, как считается, является аксиомой о параллельности. Его доказательство периодически вызывало необычайный интерес и прилив энтузиазма, за которым следовало неизбежное разочарование, так как, вроде бы удачные умозаключения, признавались впоследствии несостоятельными. И хотя в процессе этих потуг родились новые направления в геометрии, были успехи и неудачи, вопрос так и остался не решенным.
Конечно, необходимо упомянуть о таком явлении как неевклидова геометрия, которая, как считается, решила проблему недостатков, приписываемых Евклидовой теории параллельных линий. Однако, при внимательном рассмотрении, выясняется что вопрос пятого постулата так и не был решен, его просто отменили.
Тем не менее, при всех разногласиях, при всех вариантах толкования постулата, в одном существует единство - если доказать , что сумма углов прямолинейного треугольника (далее просто треугольника) равна двум прямым углам, или развернутому углу, то это автоматически докажет справедливость и однозначность упомянутой выше аксиомы Евклида.
Сейчас, пожалуй самое время напомнить о чем собственно идет речь.
Пятый постулат Евклида (хотя авторство именно Евклида над этой аксиомой неоднозначно), в своей, считающейся оригинальной, формулировке, гласит:
"Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов".
Данная формулировка просто напрашивается на доказательство путем определения однозначности равенства суммы углов треугольника двум прямым углам.
И вот как раз с этим возникли просто ужасные проблемы. Согласившись с тем, что удается доказать невозможность превышения суммой углов обозначенного предела, все доказательства того, что она не может быть меньше, признавались не имеющими неоспоримой доказательной силы, какими бы замысловатыми, непредсказуемыми и вычурными они не были.
Вообще-то ознакомившись с материалом, совершенно не увидел проблемы, заслуживающей тысячелетних усилий.
Предлагаю, невероятно простое, доказательство того, что сумма углов треугольника абсолютно равна развернутому углу (или двум прямым углам или 180 градусам, ну и т.д.), тем самым однозначно доказать справедливость постулата Евклидовой геометрии о параллельности.
И вот оно во всей своей простоте:
Треугольник есть фигура образованная пересекающимися тремя прямыми линиями (хотя к определениям прямой линии тоже были определенные претензии). Построим его, совершенно произвольной формы, углы обозначим: "α", "β" и "γ".
Теперь просто сложим углы вокруг треугольника, между продолжениями образующих его прямых.
Получим:
α+γ+β+α+γ+β (выр.1)
Если кого-либо смущает данная схема, вот другой вариант:
Надеюсь, никто не будет отрицать и ставить под сомнение то, что полный угол, описываемый лучом при повороте в плоскости вокруг начала составляет два развернутых угла, или четыре прямых угла, обозначим которые "D". Учитывая это, получим:
4D=α+γ+β+α+γ+β (выр.2)
или
4D=2(α+γ+β) (выр.3)
тогда получается:
2D=α+γ+β (выр.4)
Таким образом получается, что сумма углов любого прямолинейного треугольника однозначно и точно равна развернутому углу или половине полного угла. Она не может быть ни меньше, ни больше данного значения. Также необходимо отметить, что в выражении 4 никоим образом не участвуют стороны треугольника, кроме как для образования последнего, то есть, данное выражение не зависит от размеров и формы треугольника, так как есть чистое отношение углов.
Учитывая полученное доказательство однозначности величины суммы углов треугольника, приходим к однозначному выводу о справедливости оригинальной формулировки пятого постулата Евклида, так как в с той стороны где сумма внутренних углов, получающихся при пересечении двух прямых третьей, меньше двух прямых углов, неизбежно образуется треугольник, с каким угодно малым, но не равным 0, третьим углом, а значит произойдет пересечение прямых.
Единственный вариант, при котором треугольник не может образоваться, ни стой ни с другой стороны, если сумма внутренних углов пересечения с одной стороны равна двум прямым углам, что означает невозможность образования третьего угла.
Что однозначно доказывает, постулат Евклида в другой распространенной формулировке:
"если в одной плоскости лежат прямая и точка вне ее, то через эту точку в этой же плоскости можно провести лишь одну прямую не пересекающую первую".
Теперь необходимо вернуться к тому, с чего вся эта неразбериха началась - к значению пятой аксиомы.
Считать ее основой теории о параллельности не вполне правильно. Данная аксиома скорее определяет необходимое и достаточное условие для образования ТРЕУГОЛЬНИКА:
Необходимо, чтобы пересекались три прямые. Достаточно, чтобы сумма углов, прилегающих к одной из прямых внутри пересечения, была меньше двух прямых.
Здесь необходимо обратить внимание, на прямо бросающуюся в глаза очевидность надуманности всей возни вокруг пятого постулата. Параллельность не требует аксиоматического утверждения и доказательств своей справедливости - ее необходимо всего лишь определить, то есть обозначить что такое параллельность.
И определение параллельных линий как линий, между которыми не изменяется расстояние, снимает все проблемы.
Данное определение относится не только к прямым линиям, но и к линиям любой формы, а также и к поверхностям. Кроме того, данное определение позволяет утверждать, что через точку вне линии возможно провести лишь одну параллельную ей другую линию, тоже и для поверхностей.
И после определения параллельности, доказывать будет нужно не само определение, а всего лишь соответствие ему различных построений. А также следствия вытекающие из такого определения.
И такое положение дел ставит под сомнения неевклидовы версии геометрии, а также утверждаемых ими особенностей пространства Вселенной. Хотя вопросов к предложениям, выдвигаемым, например Н. И. Лобачевским, в своей "воображаемой" неевклидовой геометрии, и без утверждения им возможности провести через точку, лежащую в одной плоскости с прямой, более одной прямой, не пересекающейся с первой, с логической точки зрения и так достаточно. Как и к другим теориям, единственным контраргументом на нелогичность которых, является утверждение их сторонников в наличии особых логик, понять которые дано только особенным людям. Но это уже не в рамках данной статьи.
Благодарю за внимание.
© С. Гурин, г. Рязань, Россия, 2025 г.