На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей ∆ВЕС и ∆АЕD равна половине площади трапеции.
Доказательство. Через точку Е проведем высоту трапеции PH.
Так как МN - средняя линия,то АМ=МВ, DN=NC и МNIIADIIBC.
По теореме Фалеса, если АМ=МВ и АDIIMNIIBC, то HE=ЕР.
1) Найдем сумму площадей треугольников ВЕС и АЕD.
Для этого запишем формулы:
S∆BEC=½BC•ЕР
S∆AED=½AD•ЕН
Так как ЕР=ЕН=½РН, сделаем замену:
S∆BEC=½BC•½РН
S∆AED=½AD•½РН
Прибавим почленно эти два равенства и выполним преобразования:
Делаем вывод. Сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD равна произведению одной четвертой суммы оснований трапеции на её высоту.
2) Найдем половину площади трапеции.
Сначала вспомним формулу.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Разделим обе части равенства на 2 и выполним преобразования:
Делаем вывод. Половина площади трапеции равна произведению одной четвертой суммы её оснований на высоту.
3) Сравним сумму площадей треугольников ВЕС и АЕD с половиной площади трапеции.
Так как правые части равенств равны, то равны и левые.
Поэтому S∆BEC+S∆AED=½SABCD
Что и требовалось доказать.
Задача решена. В общем виде она выглядит выглядит так👇
Если не упомянуть в доказательстве теорему Фалеса, можно потерять один балл на экзамене.
Помню, решала подобную задачу на канале. Вот эту 👇
Я тогда выбрала не самое простое доказательство и решение получилось длинным.
А если через точку Е провести среднюю линию и высоту трапеции, тогда доказательство будет проще и короче.
В следующей публикации покажу решение. Но вы можете в комментариях попробовать описать его. Условие и чертеж оставлю там.
Уважаемые девятиклассники!
Прочиток публикаций с заданиями ОГЭ много, а лайков мало.
Ставьте лайки 👍, пишите комментарии ✍️. Автору приятно, если его работа оценена.
Подписывайтесь на канал и будем дружить.
До скорой встречи.
С вами Любовь Михайловна, учитель математики, педагогический стаж работы в школе 36 лет.