Если вдуматься, то геометрия - застывшая физическая реальность. Каждую линию можно трактовать как траекторию некоторого объекта в зависимости от течения времени. Переходя к натуральной параметризации линии, можно «временно» исключить время. (Тогда точка - только частный случай линии.) Вряд ли человеческий мозг способен познавать физическую реальность в динамике. А с помощью геометрических образов можно свести процесс познания к рассмотрению «мгновенной фотографии» реальности в форме геометрических построений. Отсюда: бесспорная ценность геометрических образов как для моделирования физических процессов, так и для поверки соотношением с физической реальностью сугубо математических выкладок.
В качестве примера высказанного выше рассмотрим графики уравнений, например, 5-й степени. Вопрос о решении уравнений высоких степеней возник из вот этой сугубо прикладной задачки: https://dzen.ru/a/Z3PmLBMIgz7ewNi9
Рис.1
Исходя из физической реальности, первое уравнение имеет два корня на периоде в 2*π. А попытка аналитического решения приводит к полному уравнению 8-й степени. (Как известно, математики научились решать только уравнения 4-й степени. И уже для уравнения второй степени можно получить 2 решения, из которых можно/нужно выбрать «подходящее» для условий описываемой физической реальности.) Возникает любопытный вопрос: каким должно быть полное уравнение 8-й степени, чтобы оно имело только 2 решения? Ограничившись (без ущерба возможным обобщениям) максимальной степенью, например, 5 или 6, получаем графики, которые демонстрируют как обобщённую форму результирующей кривой, так и «взаимодействие» между коэффициентами при соответствующих степенях.
Общее уравнение, например, для 5-й степени примем в виде:
Рис.2
Примем для последующего: K0 = 0, а коэффициент при старшей степени 1; необозначенные коэффициенты равны 0.
Полная парабола 5-й и 4-й степени с k_i = 1:
Рис.3
Из рис.3 можно видеть, что «общая форма» графиков определяется старшей степенью полинома. Младшие же степени искажают форму от старшей степени и сдвигают экстремумы графика:
Приведённые картинки показывают, по меньшей мере, что вопрос наличия, количества и конкретных значений корней полинома любой степени решается совершено так же, как и для квадратичных и кубичных уравнений: если старшая степень полинома нечётная, то всегда существует хотя бы одно решение; если старшая степень чётная, то решения может не быть. А вопрос количества решений явно зависит от соотношения коэффициентов при степенях полинома:
Коэффициенты полинома можно считать за постоянные множители, вынесенные из-под степени (простейшие тензоры). Тогда возникает интересный вопрос: если полином получен из сугубо практической задачи, то могут ли коэффициенты при чётных степенях быть "разнознаковыми"?
Вместо заключения: среди завалов всяческой «чешуи» в инете по поводу решения уравнений 4-й степени выделяются две оригинальные статьи: 1) В.А.Арефьев: «Решение уравнений 4-й степени по методу Феррари» и 2) Конкурс исследовательских и проектных работ школьников «Высший пилотаж»: «Многочлен 4 степени и его корни».
Так что…