РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТЕМУ "ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА"

Приветствую Вас!

В задании №19, из профиля ЕГЭ, представлены для решения задачи на алгебраические теоремы. А кто их знает? Правильно - никто. Так вот, буду вас с ними потихонечку знакомить, и начнем с не очень сложной:

На доске написаны три различных натуральных числа. К каждому из них приписали справа одну и ту же цифру, при этом сумма увеличилась в m раз.

а) может ли m быть равно 13?

б) может ли m быть равно 16?

в) найдите наибольшее возможное натуральное m.

Тааак.. смотрим: три различных натуральных числа. Пусть будут a, b, c.

Дальше: справа к каждому из них приписали одну и ту же цифру, назовем ее k.

Теперь нам нужно это все как-то записать. Что понимаем: если мы возьмем какое-то однозначное натуральное число и припишем к нему еще сзади какое-то однозначное, то получится двузначное. Следовательно, каждое из чисел будет выглядеть так:

• 10a+k, 10b+k, 10c+k.

По условию, сумма чисел увеличилась в m раз. Запишем уравнение:

• (10a+k)+(10b+k)+(10c+k)=m(a+b+c),
• 10(a+b+c)+3k=m(a+b+c),
• 3k=m(a+b+c)-10(a+b+c),
• 3k=(m-10)(a+b+c).

Решаем пункт а). Подставим под m=13 и посмотрим что получится:

• 3k=(13-10)(a+b+c),
• 3k=3(a+b+c),
• k=a+b+c.

Так как все это натуральные числа, то под a, b и с можно подставить любые, учитывая, что k не может быть больше девятки, ведь по условию задачи, к каждому из чисел справа подписывается одно число. Следовательно, в пункте а ответ - да, может.

Пункт б). Подставим под m=16:

• 3k=(16-10)(a+b+c),
• 3k=6(a+b+c),
• k=2(a+b+c).

Здесь, если под a, b и с подставить наименьшие различные натуральные числа, такие как 1, 2 и 3, то получим k=12 ( помним, что k у нас не больше девяти). Следовательно, условие задачи не выполняется. Ответ: нет, не может.

Пункт в). Найдем максимальное m:

• 3k=(m-10)(a+b+c), т.к. k<=9, то 3k<=27. Подставим:
• (m-10)(a+b+c)<=27,
• m-10<=27/(a+b+c),
• m<=27/(a+b+c)+10.

Т.к наименьшая сумма a, b и с равна 6, то

• m<=27/6+10,
• m<=14,5.

Ну, а т.к все это у нас натуральные числа, соответственно, m=14. Ответ: 14.

Благодарю за внимание..