Здравствуйте! Продолжаем разбираться с профильными заданиями. Перед тем, как приступать к решению этих номеров, обязательно нужно уметь находить производные функций разных типов: от многочленов до произведений сложных функций. Начнем по порядку.
Можете также заглянуть к остальным типам заданий:
1. Что такое производная
Производная — это инструмент, который позволяет нам измерить скорость изменения какой-либо функции в каждый конкретный момент или в каждой конкретной точке.
Производная функции f(x) обозначается как f'(x) или df/dx.
Геометрический смысл:
Геометрически производная функции в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке. То есть, она показывает, насколько быстро график функции поднимается или опускается в данной точке.
Физический смысл:
В физике производная часто используется для определения:
• Скорости: Если s(t) — это положение тела в момент времени t, то s'(t) — это скорость тела в момент времени t.
• Ускорения: Если v(t) — это скорость тела в момент времени t, то v'(t) — это ускорение тела в момент времени t.
2. Правила производных
Сначала разберемся с правилами дифференцирования. Они регулируют нахождение производных от суммы (разности), произведения, частного, а также работу со сложными функциями и коэффициентами.
По пунктам:
- Производная суммы: (u + v)' = u' + v'.
- Если функция умножалась на константу, то эту константу можно вынести перед функцией.
- Производная произведения: (uv)' = u'v + uv'.
- Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv')/v².
Производная сложной функции:
Сложная функция - это функция, которая "вкладывает" одну функцию в другую. Формально, если у нас есть две функции u = g(x) и y = f(u), то сложная функция будет выглядеть как y = f(g(x)). То есть, сначала применяется функция g к x, а затем результат u подставляется в функцию f.
Простыми словами, если аргумент функции - не просто x, а что-либо другое (2х, x² или вообще функция другого рода) => перед нами сложная функция.
Давайте на примерах:
Простые функции: sinx, lnx, x⁴, arctgx.
Сложные функции: sin5x, (x+10)⁴, ln(cosx) и тд.
Простые функции и их производные представлены в таблице производных, а производные сложных функций находятся по правилу выше.
3. Таблица производных
Таблица производных - это результат математических соглашений, принятых для удобства и унификации.
Роль элементарных функций:
- "Строительные блоки" математики: Таблица производных в основном касается производных элементарных функций – степенных, тригонометрических, логарифмических, экспоненциальных. Это "кирпичики", из которых строятся более сложные функции.
- Умение распознавать "кирпичики": Развитие навыка распознавания этих элементарных функций внутри сложных выражений позволяет применять правила дифференцирования (включая цепное правило) более эффективно.
"Пробелы" в таблице:
- Нет производной для разрывных функций: Производная существует только в тех точках, где функция непрерывна и гладкая. В точках разрыва или "излома" производной нет.
- Не все функции дифференцируемы: Некоторые функции (например, функция Вейерштрасса) непрерывны, но недифференцируемы ни в одной точке.
4. Точки максимума и минимума
4.1 Как это выглядит на графиках
На графике функции:
- Точка максимума (локальный максимум): Это точка на графике функции, где значение функции больше, чем во всех близлежащих точках. Представьте себе "вершину холма" на графике.
- Точка минимума (локальный минимум): Это точка на графике функции, где значение функции меньше, чем во всех близлежащих точках. Представьте себе "дно впадины" на графике.
На графике производной функции:
Помните, что производная функции f(x), обозначаемая как f'(x), представляет собой скорость изменения исходной функции в каждой точке.
- Если f'(x) > 0, то f(x) возрастает.
- Если f'(x) < 0, то f(x) убывает.
- Если f'(x) = 0, то f(x) находится в стационарной точке (может быть точкой максимума, минимума или перегиба).
Как найти точки экстремума исходной функции по графику её производной?
- Нули производной: Найдите точки, где график производной f'(x) пересекает ось x (где f'(x) = 0). Эти точки соответствуют критическим точкам исходной функции f(x).
- Знак производной:
Точка максимума: Если график производной f'(x) переходит с положительных значений на отрицательные при переходе через критическую точку (сверху вниз, переходя через ось x), то в исходной функции f(x) в этой точке максимум. То есть, функция возрастала, а потом стала убывать.
Точка минимума: Если график производной f'(x) переходит с отрицательных значений на положительные при переходе через критическую точку (снизу вверх, переходя через ось x), то в исходной функции f(x) в этой точке минимум. То есть, функция убывала, а потом стала возрастать.
4.2 Как мы будем это искать в 12 номере:
Шаг 1: найти f'(x);
Шаг 2: решить уравнение f'(x)=0;
Шаг 3: расставить корни на прямой следующего вида:
Сверху расставляем знаки по производной функции (см. след статью), снизу расставляем стрелки по знакам (если плюс - стрелка вверх, минус - вниз). "Впадина" - локальный минимум, "холм" - локальный максимум.
Шаг 4: выбрать ответ, исходя из вопроса задачи.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции
Так как функция, как правило, неограниченная => наибольшее и наименьшее значения находят на каком-то указанном в задании отрезке. Для этого к предыдущему пункту добавляется
Шаг 5: подставить максимум (для наибольшего значения) или минимум (для наименьшего) В ИСХОДНУЮ ФУНКЦИЮ! В ТУ, ПРОИЗВОДНУЮ КОТОРОЙ МЫ ИСКАЛИ! ТО ЕСТЬ В САМО ЗАДАНИЕ!
😇
Спасибо за внимание! В следующей части применим все на практике.