Николай Артемьевич Кощеев родился 19 декабря 1914 года в деревне Кощеевы Котельнического уезда Вятской губернии в бедной крестьянской семье. В 1933 году, после окончания Котельнического педагогического техникума, он был направлен учителем истории и заместителем директора, а затем и директором Красногорской школы крестьянской молодежи Кировской области (1933-1936 годы).
В 1936 году Николай Артемьевич поступил на исторический факультет Кировского педагогического института, который окончил в 1940 году. После этого он был направлен на партийную работу, заняв должность заведующего отделом пропаганды Кировского райкома ВКП(б). Заметив его старание, незаурядные способности, ответственность и дисциплинированность, партийные органы рекомендовали молодого коммуниста для работы в органах Наркомата внутренних дел СССР.
В 1941 году стал слушателем Высшей школы НКВД. После ее окончания, в 1942-1943 годах, он работал в Управлении НКВД по Кировской области. С 1943 года он вновь перешел на партийную работу, последовательно занимая должности начальника политотдела совхоза, второго секретаря райкома партии и инструктора отдела пропаганды Кировского обкома ВКП(б) (1945-1947 годы). С 1951 по 1955 год он работал на партийно-политической работе в органах госбезопасности по Кировской области.
В 1958 году Николай Артемьевич окончил аспирантуру при Кировском педагогическом институте. В 1960 году он успешно защитил кандидатскую диссертацию на кафедре истории КПСС в Московском областном педагогическом институте (МОПИ) им. Н. К. Крупской, тем самым осуществив свою давнюю мечту о научной и преподавательской деятельности.
С этого момента вся дальнейшая деятельность Николая Артемьевича была связана с УГПИ–УдГУ, где он проработал почти 20 лет на кафедре истории КПСС. Он занимал должности старшего преподавателя, а затем доцента (1966-1980 годы). Много лет вел курс истории КПСС на филологическом факультете. Коллеги и студенты запомнили его как исключительного ответственного, убежденного и нетерпимого к халтуре профессионала, при этом отличавшегося уравновешенным характером и внимательным отношением к окружающим.
Н. А. Кощеев успешно занимался научными исследованиями. Им опубликовано более 40 научных работ по истории Гражданской войны на территории Приуралья, в том числе брошюры «Н. К. Крупская в Прикамье» (Ижевск, 1966), «Подарок В. И. Ленину» (Ижевск, 1964), «М. И. Калинин в Удмуртии» (Ижевск, 1968), «В. И. Яшин и военные события в нашем крае» (Ижевск, 1970). Николай Артемьевич внес значительный вклад в историографию Октябрьской революции и Гражданской войны, публикуясь как в местных, так и в центральных периодических изданиях, в частности статьи «Сарапульские крестьяне у Ленина» (журнал «Молот», Ижевск, 1969) и «Записка Ильича» (журнал «Молодая гвардия», Москва, 1970).
«Вся сознательная жизнь Н. А. Кощеева связана с жизнью партии, он принадлежит к корпусу честных, открытых и принципиальных коммунистов, посвятивших жизнь воспитанию молодого поколения,» – отмечали авторы сборника «Призвание» (с. 94, Ижевск, 2001 год). С этим утверждением нельзя не согласиться.
Николай Артемьевич Кощеев был награжден орденом Отечественной войны II степени, медалями «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 годы», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 годы», а также знаком «Отличник народного просвещения РСФСР» и другими наградами.