Что физики видят в графиках? Продвигаемся «вглубь»

Эта статья продолжает цикл статей о понимании графиков.
См. предыдущие статьи:

1. «Зачем физикам графики? Что они в них видят?» - статья о том, что такое график и зачем он нужен.
2. «Что физики видят в графиках? Я тоже так хочу!» - статья о графиках равномерного движения

В этой статье мы рассмотрим то, как физики на графиках изображают равноускоренное движение.

График зависимости координаты от времени для равноускоренного движения

Обратимся к разделу физики «Кинематика»: равноускоренное движение описывается уравнением

Как выводится это уравнение и от куда там деление на 2 – это мы, пока не будем рассматривать. Просто принимаем это уравнение как данность – за нас уже кто-то его вывел…

Итак, так как на графике отражается зависимость координаты от времени (по оси абсцисс откладывается время t), сразу обращаем внимание, что в третьем слагаемом время в квадрате! Это квадратичная функция. В школьной математике Вы неоднократно рассматривали такую функцию. Правда выглядело это немного иначе:

Но какая разница какими «буковками» обозначать! В нашей «физической» функции слагаемые просто переставлены местами и

Главное, что мы знаем, что графиком такой функции является парабола.

Следовательно, графики зависимости координаты от времени будут выглядеть как часть параболы, например, вот так (рис. 1):

Рис. 1. Примеры графиков зависимости координаты от времени при равноускоренном движении

Первый взгляд на график

Давайте попробуем понять, что же можно увидеть на этом графике. Для начала рассмотрим график на рис.2.

Рис. 2. График зависимости координаты от времени

Первая точка, которая удобна для рассмотрения – точка с t=0 c. Т.е. это точка, когда начали наблюдать за движением тела. Координата в этот момент была X=50 м. Следовательно, это и есть начальная координата тела Xo. Всё просто! Один из параметров движения нам уже известен. Осталось найти начальную скорость Vo и ускорение a. И вот тут простота заканчивается…

Но это не значит, что ни чего нельзя «вытащить» из этого графика. Двигаемся потихоньку…

Касательная = скорость

Вспомните (если не помните – прочитайте предыдущую статью), что на графике координаты от времени X(t) скорость, как отношение приращения координаты к приращению времени, видна как угол наклона прямой линии. Но у нас нет прямых линий! Да, это потому, что при равноускоренном движении скорость постоянно меняется, и на «сцену выходит» понятие мгновенной скорости – скорости в конкретный момент времени. Для этого выбирают очень, очень маленькое, как говорят математики, «предельное» значение приращения времени и смотрят на сколько изменилось значение функции. Для таких маленьких приращений в математике есть специальный инструментарий, называемый «производная функции». Так вот, если найти такое приращение функции, рассчитать мгновенную скорость и построить в этой точке график прямолинейного движения с такой скоростью, то это график окажется прямой линией и будет касательной к нашему графику в данной точке.

Рис. 3. Касательные к графику

Посмотрите рис.3. На нём я изобразил две такие касательные к нашему первому графику в точках, приблизительно, t1=2 c (красная линия) и t2=6 c (зелёная линия). Тангенс угла наклона этих касательных и есть скорость точки в данный момент времени. Хорошо видно, что углы наклона этих линий различны, и до 5 секунды тангенс наклона отрицательный, а после 5 секунды – положительный. Т.е. до 5 секунды проекция скорости тела была отрицательной – тело двигалось к точке отсчёта, а после 5 секунды проекция скорости положительна – тело отдалялось от начала отсчёта. Это также хорошо видно по изменению координаты тела: до 5 секунды координата тела уменьшается, после 5 секунды – увеличивается.

Если вооружится линейкой и мысленно построить несколько касательных от 0 с до 5 с, то можно заметить, что наклон касательно постепенно уменьшается, т.е. тело до 5 секунды «тормозит» уменьшая свою скорость. А после 5 секунды наоборот, угол наклона касательной растет, следовательно, тело разгоняется. И примечательна точка t3=5 с: в этой точке касательная параллельна оси t, т.е. тело остановилось. Эта точка у математиков называется вершиной параболы (точкой экстремума функции). Для физиков это момент времени, когда тело остановилось и поменяло направление движения.

Расчёт ускорения и начальной скорости

С этим моментом разобрались. Но осталось не понятно, можно ли «вытащить» значение начальной скорости и ускорения? Можно. Для этого выберем две произвольные точки на графике, в которых чётко видно значение времени и координаты. На первом графике это:

1. t1 = 5 c, X1 = 0 м
2. t2 = 10 c, X2 = 50 м

Подставим эти значения в уравнение движения, плюс помним, что начальную координату Xo мы уже нашли Xo= 50 м. Получится система из двух уравнений с двумя неизвестными Vo и a. Математики утверждают, что, если есть система из двух независимых уравнений с двумя неизвестными – их можно найти. Решаем.

Итак, мы получили, что

1. начальная скорость Vo=-20 м/с
2. ускорение a=4 м/с2.

Надо помнить, что мы нашли не начальную скорость и ускорение, а их проекции на ось OX! Отрицательное значение означает направление, противоположное направлению оси, положительное – величина сонаправлена с осью.

Таким образом данный график описывается уравнением

Обратите внимание, что перед последним слагаемым, там, где фигурирует ускорение, стоит 2, в то время, когда ускорение равно 4 м/с2 (!). Не забываем, что в уравнении равноускоренного движения стоит коэффициент ½.

Еще один интересный момент, который можно было заметить сразу, взглянув на график. У параболы есть такое понятие как «ветви параболы». Они симметричны относительно вершины параболы и направлены либо обе вверх, либо обе вниз. Если Вы внимательно слушали учителя математики, то знаете, что направление ветвей зависит от множителя, стоящего перед «квадратом». Если он положителен – ветви направлены вверх, если отрицательный – вниз. В нашем графике – вверх. И проекция ускорения тоже получилась положительной. Оказывается, направление вектора ускорения можно было оценить сразу, взглянув на ветви параболы.

Предварительный итог

Итак, что можно сразу увидеть на графике зависимости координаты от времени для равноускоренного движения:

• Начальная координата – точка пересечения графика с осью ординат.
• Момент времени, когда тело поменяло направление движения – вершина параболы.
• Моменты времени, когда тело находилось в начале отсчёта (если таковые имеются) – точки пересечения параболы и оси абсцисс.
• Направление начальной скорости (знак проекции скорости на ось OX) – наклон касательной к графику в точка пересечения графика с осью ординат.
• Направление ускорения (знак проекции ускорения на ось OX) – направление ветвей параболы.

Ну и немножко повозившись, можно найти значение проекции начальной скорости и ускорения тела и записать уравнение движения данного тела.

Давайте применим наши знания для графика на рис.4.

Рис. 4. График зависимости координаты от времени

• Начальная координата тела Xo=20 м.
• Первые 5 секунд проекция скорости тела была положительна. Тело отдалялось от начала отсчёта.
• На 5 секунде на расстоянии 70 м от начала отсчёта тело остановилось и поменяло направление движения.
• После 5 секунды тело имело отрицательную проекцию скорости и двигалось с сторону, противоположную направлению оси OX.
• Приблизительно на 11 секунде тело прошло мимо начала отсчёта. Дальше тело отдалялось от начала отсчёта в отрицательную сторону.
• Проекция ускорения тела отрицательна. Т.е. ускорение направлено в противоположную от направления оси OX сторону.

Ну и взяв 2 точки:

1. t1 = 5 c, X1 = 70 м
2. t2 = 10 c, X2 = 20 м

Подставляем эти значение в уравнение движения и получаем значения проекции начальной скорости и ускорения.

1. начальная скорость Vo=20 м/с
2. ускорение a=-4 м/с2.

Решение я не привожу – можете попробовать рассчитать самостоятельно.

Данный график описывается уравнением

Продолжение темы читайте в статье

«Что физики видят в графиках? График зависимости скорости от времени для равноускоренного движения»