Эта статья является продолжением статьи "Зачем физикам графики? Что они в них видят?"
Итак, давайте полюбуемся несколькими графиками и попробуем их тщательно разобрать.
Первая группа графиков – это графики зависимости какой-либо физической величины от времени. Чаще всего такие графики встречаются в механике. Но сначала маленькое отступление в кинематику – раздел физики, изучающий движение тел без разбора причин этого движения.
От куда взялась функция движения, что бы у неё был график?
Дело в том, что по определению…
Движение – изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
И тут в определении встречаются два фундаментальных понятия, которые очень трудно объяснить: пространство и время.
Мы живем в пространстве. Нам оно видится трехмерным (какое оно «на самом деле» это тема отдельного разговора). Что это значит? В «нашем» пространстве к любой прямой можно провести только 2 прямые так, чтобы все прямые были взаимно перпендикулярны. Кто в это сомневается – посмотрите весёлое видео «Эксперт».
Математики говорят, что «наше пространство описывается прямоугольной системой координат с тремя координатами». Т.е. каждую точку пространства можно описать тремя числами: X – абсцисса точки, Y – ордината точки, Z – аппликата точки. Для этого надо взять любую точку, приняв её за начало координат, отложить, в любом направлении, ось OX и ещё две оси, опять-таки, в любом направлении, но обязательно перпендикулярно оси OX. Выбрать на осях единичный отрезок (в физике обычно это 1 метр). Опустить перпендикуляры от точки на каждую ось (математики говорят «проецировать точку на ось») и измерить расстояние от начала отсчета до проекции точки (математики говорят «найти проекцию точки на ось»). В результате получим три числа (X, Y, Z) которые и являются математическим описанием положения точки в пространстве относительно начала отсчёта.
И вот, с точки зрения математики, движение – это изменение этих самых координат.
Но наш мир устроен так, что мы не можем моментально переместится из одной точки пространства в другую. И тут на «сцену выходит» следующее фундаментальное понятие – время.
Что такое время очень трудно понять, но что мы точно знаем: оно есть, оно «течёт», мы живём во времени, и мы умеем измерять равные промежутки времени (года, дни, минуты, секунды). Но у времени есть одна очень «странная» особенность – «стрела времени».
Физики говорят, что наше пространство и время «родились» одновременно в момент рождения нашей Вселенной, в так называемом «Большом взрыве». Физики не очень любят это понятие – тогда нечему было «взрываться». Они чаще пользуются другим понятием – сингулярность. И вот в тот самый момент "рождения" пространство и время возникли одновременно и не разделимы. Но в пространстве я могу оказаться в одной и той же точке сколько угодно раз, а вот во времени так не получится – время всегда «течёт» в одном направлении. Мы можем замедлить течение времени, но не можем повернуть его вспять!
И получается, что при движении я нахожусь в каждой точке пространства в конкретный момент времени. Находится в двух точках пространства в один и тот же момент времени невозможно, это, так называемая телепортация. Тут со мной могут поспорить любители квантовой физики: там действительно наблюдается телепортация. Но это только в квантовом мире! В классическом «нашем» мире телепортация запрещена! И это хорошо – это дает нам единичную связь конкретного момента времени и положения тела в пространстве. То есть, говоря языком математики, мы имеем функцию координаты тела от времени: x = f(t). Вот от сюда и «растут ноги» у наших графиков движения.
Вообще-то должно быть три функции: x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t). Это для трехмерного пространства. Для движения по плоскости (двумерное пространство) хватит двух функций: x = f1(t), y = f2(t). А для самого простого движения по одной прямой хватит всего одной функции: x = f(t). Обычно с этого движения и начинают изучение физики в школе.
Давайте рассмотрим графики движения по подробнее.
График координаты от времени. Равномерное движение
Естественно, рассматриваем движение по одной прямой.
Функция x = f(t) – зависимость координаты тела от времени.
Есть две величины: координата и время. Отложим на оси абсцисс время с единицами измерения соответствующими равным промежуткам времени, например, секундам. На оси ординат отложим координату точки. Будем называть такую систему «координатной плоскостью X-T».
Линейный возрастающий график X от t
Вот наш первый график (Рис. 1).
Начинается график с точки 0 с - 20 м. Это значит, что в тот момент, когда мы включили секундомер, тело находилось в точке, удаленной на 20 метров от начала отсчёта. Помним, что начала отсчёта мы выбираем произвольно. Видим, что с увеличением значения по оси OX (время идет вперед) значение по оси OY (расстояние от начала отсчёта) тоже увеличивается. Мы понимаем, что тело «уходит» от начала отсчета в сторону направления оси OX.
Если внимательно посмотреть на значения графика можно заметить, что каждые 10 секунд тело проходило 20 метров. В физике это называется «равномерное движение». Следовательно, если график представляет из себя прямую линию – это равномерное движение. Вот так просто!
График «прямая линия» - это график линейной функции. Линейная функция в алгебраическом виде записывается как y=kx+m. В нашем случае вместо у – координата X, вместо x – время t: X=kt+m. А вот что такое k и m? Если подставить в уравнение начальный момент времени t=0, получим X=m. Для нашего графика в момент времени равный 0 с X=20 м. Это начальная координата, обозначается как Xo.
Теперь из выражения X=kt+Xo выразим k, так называемый "угловой коэффициент":
Получилось, что k - это отношение изменения координаты тела ко времени, за которое это изменение произошло. Но в физике это скорость тела по определению!
Таким образом данный график описывается уравнением X=Xo+Vt – это физическая формула, описывающая прямолинейное равномерное движение. Это в общем виде. Для какого-то конкретного движения Xo и V – конкретные числа.
Давайте опишем наш конкретный график на рис. 1 таким уравнением. Xo мы уже разбирали – наша начальная координата 20 м. Найдем скорость. Так как движение равномерное скорость неизменна на всём участке. Возьмем произвольно любые две точки. Удобно брать начальное положение t=0 и любую другую, к примеру, t=10 c, X=40 м. Подставим в формулу (1)
V = (40 - 20) / 10 = 2 м/с.
Итак уравнение, описывающее наш график движения, X=20+2t.
Сравнение линейных графиков
Теперь давайте добавим к нашему графику движения еще один график движения уже другого тела (Рис. 2). На одной координатной плоскости можно изображать сразу несколько графиков.
Начинаются оба графика с одной точки и оба «идут» вверх. Мы понимаем, что два тела в начальный момент времени находились в одной точке и оба удаляются от начала координат. Оба графика линейные – оба тела движутся равномерно, но с разными скоростями. У первого скорость 2 м/с, у второго V = (60 - 20) / 10 = 4 м/с. Скорость второго тела больше! И вот Вам еще одна «прелесть» графиков – сразу видно у какого тела скорость больше – чем «круче» график, тем выше скорость.
Вообще-то, у этой самой «крутизны» графика есть математическое описание. Для линейного графика можно на любом его участке изобразить прямоугольный треугольник, с катетами, равными приращению абсциссы (у нас это ∆t) и приращению ординаты (у нас это ∆Х) (см. Рис.3).
Тогда коэффициент k, равный отношению этих приращений, а у нас, конкретно, равный скорости тела (см. формулу 1), в прямоугольном треугольнике это тангенс угла наклона нашего графика. Чем больше угол наклона, тем больше значение тангенса этого угла. k=tg(α)=V.
Если Вы не знакомы с понятием «производная функции» пропустите следующий абзац.
А если идти еще глубже в математику, то можно вспомнить, что предел отношения приращения функции к приращению её аргумента есть производная данной функции. И, следовательно, производная функции по времени, описывающей зависимость координаты от времени, есть уравнение, описывающее зависимость скорости тела от времени. Для линейной функции X(t)=Xo+Vt производная X’(t)=V – константа. Следовательно, и скорость для рассматриваемого нами движения тоже постоянна. Вот Вам ещё один «лайв-хак»: если у Вас есть уравнение движения X(t) для нахождения скорости просто возьмите производную этой функции по времени.
Горизонтальный и нисходящий график
Рассмотрим ещё 2 графика (Рис. 4).
Первый график – горизонтальная прямая. Координата тела со временем не изменяется – тело покоится. Описывается такое движение уравнением X(t)=k, где k – некая константа, в нашем случае равная начальной координате тела Xo=100 м.
Скорость тела в таком случае V=0 м/с. Горизонтальный участок графика на координатной плоскости X-T означает, что тело покоится и его скорость равна нулю.
Кстати, о «треугольнике» на данном графике говорить вообще глупо, да и производная функции x(t)=k равна нулю.
Второй график. «Идет вниз»! выберем две точки на графике и воспользовавшись формулой (1) рассчитаем скорость второго тела.
Первая точка: t=0 с; x=100 м. Вторая точка: t=20 с; x=0 м.
V = (0 – 100)/20 = -5 м/с. Отрицательна! Как это понимать?
Помните мы с Вами обсуждали, что для рассмотрения движения выбирают точку отсчёта и направляют в произвольном направлении ось OX. Скорость тела векторная величина – тоже имеет направление. Для работы с вектором скорости в системе координат делают математическое преобразование – находят проекцию вектора скорости на ось OX.
Маленькое отступление для тех, кто плохо разбирается в проекциях
На рис. 5 изображена ось OX и два вектора скорости V1 и V2. Обычно, если соблюдают масштаб, вектор скорости показывает перемещение тела за единицу времени. Нам сейчас не принципиальны единицы измерения, будем работать в условных единицах.
Вектор V1 сонаправлен с осью OX. Для нахождения проекции вектора на ось опустим перпендикуляры от начала и конца вектора. Проекция вектора на ось обозначена V1x и заштрихована. Для нахождения значения проекции вычитаем из конечной координаты тела его начальную координату: V1x=X-Xo=3-1=2.
Для второго вектора V2 повторим туже процедуру. Но теперь конечная координата меньше начальной! V2x=X-Xo=5-8=-3.
Если вектор скорости и оси параллельны, то модуль скорости равен длине вектора. Если направление вектора скорости и оси совпадают – проекция скорости положительна, если направления противоположны – проекция скорости отрицательна.
Возвращаемся к нашему графику 2. Мы как раз получили отрицательное значение скорости, вернее проекции скорости на ось OX. Это значит тело движется в противоположном направлении! Вот и подоспела ещё одна «прелесть» графиков: по направлению наклона графика сразу видно положительна проекция скорости или отрицательна.
Кстати, тангенс «крутизны» нашей функции тоже получается отрицательным.
И производная функции по времени – тоже отрицательна.
А что произошло с тело №2 в точке t=20 с? В этот момент координата тела X = 0 м. Тело прошло через точку, принятой нами за начало отсчета. При этом скорость его не менялась и тело просто продолжило движение. Просто теперь оно удаляется от точки начала отсчёта в противоположном к оси OX направлении. И координаты тела стали отрицательными.
Продолжение темы читайте в статье
"Что физики видят в графиках? Продвигаемся «вглубь»"