Начало рассказа «2025 – год математического перфекционизма» >>
В качестве ответа на любезность итальянцы пригласили нас посетить математический... тоннель. Находится он в приморском городке Челле Лигуре (Лигурийские Кельи), основанном монахами в конце первого тысячелетия (первое упоминание 1014 год н.э.). Мы поставили посещение этого объекта в программу экспедиций 2024 года, и поскольку ничего о нём не знали, пометили пункт как не обязательный.
Музей в туннеле
Когда-то вдоль кромки моря лигурийских городов проходила железная дорога. Её перенесли вглубь материка, а оставшиеся сооружения приспособили под социальные нужды. Этот туннель стал выставочным павильоном, открытым и бесплатным для всех.
Прибрежные города всегда славилось своими гончарами, изделия из глины и сейчас там очень популярны. [Нам удалось посетить одну из самых знаменитых фабрик, составивших славу городу Альбиссола (рассказ об этом скоро)]. Творческие соревнования мастеров – обычное дело для Италии, но тот, кто решил объединить всё вместе (искусство, гончарные традиции, педагогику, математику, интеллект, туризм и программу развития городской инфраструктуры) – поистине молодец.
В туннеле мы оказались в такой час, когда вечернее освещение ещё только зажигают, так что знакомство с экспонатами невольно превратилось в игру: мы рассматривали панно, и только если не могли угадать, что на нём изображено, подсматривали описание. Приглашаем вас посетить этот туннель виртуально и поиграть вместе с нами.
Каждая работа, как в настоящем музее, сопровождается описанием использованных материалов и формата панно, но главное здесь – резюме идеи, которую художник отразил в работе. Эти справки носят дидактический характер и некоторое из них стоило перевести.
1. ПИ НА ЧЕТЫРЕ
2. ГАУССИАНА
«Кривая нормального распределения Гаусса, – сообщает аннотация, – занимает фундаментальное место в теории вероятности и статистике». Я представила, как какой-нибудь учитель-энтузиаст проводит здесь урок математики.
3. ЗОЛОТАЯ СПИРАЛЬ
«Логарифмическая спираль – это кривая, характеризующаяся тем, что существует такая точка (полюс), что угол, образованный лучом, проходящим через полюс и саму точку, и касательной к кривой в этой точке, остаётся постоянным. Её изучал Якоб Бернулли, который назвал ее Spira mirabilis – "чудесная спираль", и пожелал, чтобы она была выгравирована на его надгробии. Её можно аппроксимировать четвертями окружностей, вписанными в квадраты, стороны которых имеют размеры, пропорциональные членам последовательности Фибоначчи».
4. ВОЗДУШНЫЕ ЗМЕИ НА МУШКЕ
«Теорема Пифагора, безусловно, является одним из самых популярных концептов в математике. Он гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, имеет площадь, равную сумме площадей, построенных на катетах. Доказательство теоремы Пифагора составляет предложение 47 первой книги "Начал" Евклида. Приписывание этой теоремы Пифагору вызывало сомнения даже в древности. В любом случае интуитивное и экспериментальное знание теоремы, безусловно, обнаруживается в доэллинской восточной математике...
Евклид, «Элементы», 1, 47: "В прямоугольных треугольниках квадрат угла, противолежащего прямому углу, равен сумме квадратов сторон, содержащих прямой угол"».
5. 7+7+7
«Семь это:
– простое число (оно делится только на 1 и само на себя),
– простое число Мерсенна (оно имеет вид 2^n-1) и двойное число Мерсенна (имеет вид 2^(2^p- 1) -1),
– безопасное простое число (имеет вид 2p+1, где p – простое число),
– простое число Ньюмана-Шенкса-Уильяма,
– простое число Вудала,
– факториальное простое число,
– счастливое число.
Число считается счастливым, если оно проходит проверку ситом Эратосфена, а также если при сложении квадратов его цифр и повторении суммы квадратов всех полученных чисел получается 1.
7 – счастливое число, потому что: 7->49-42492-97->92+72-130-> >>12+32+02-10-> 12+02-1
Число семь выражает глобальность. универсальность, идеальный баланс и представляет собой полный динамичный цикл. С древних времён оно считалось религиозным символом совершенства и магическим, поскольку было связано с завершением лунного цикла. Древние видели в числе семь великое значение монады, поскольку оно не является производным ни от одного числа между 1 и 10. У вавилонян дни каждого месяца, кратные семи, считались праздничными. Пифагорейцы считали его символом святости. Греки называли семёрку почтенной, Платон – anima mundi. У египтян она символизировала жизнь.
Число семь олицетворяет совершенство человеческой природы, так как объединяет в себе божественную троичность с земной четвертичностью. Образованное соединением триады с тетрадой, оно указывает на совершенство в единстве физической и духовной природы, человеческой и божественной. И это невидимый центр, дух и душа всего. Число семь называют пирамидой, поскольку оно образовано треугольником (3) и квадратом (4). Оно является высшим выражением посредничества между человеческим и божественным».
6. ПАРАБОЛЫ
Это панно размером 60x50 см, выполненное из глины c позолотой и полихромной эмалью, посвящено параболе. «Поверхность, полученная вращением прямой линии в пространстве вокруг оси, называется конусом, а прямая линия называется образующей конуса. В своей работе "Конические сечения" Аполлоний определяет конические сечения как кривые, полученные пересечением конуса с плоскостью. В зависимости от наклона плоскость образует различные кривые. Парабола получается, когда секущая плоскость параллельна образующей конуса. Изменяя наклон, можно также получить окружности, эллипсы, гиперболы и пары прямых линий».
7. МИР ПЧЁЛ
«Существуют и другие возможности построить ячейки так, чтобы стена разделяла две ячейки, треугольную и квадратную. Среди этих вариантов (треугольники, квадраты, шестиугольники) какой наиболее экономичен? В математике это задача на оптимум. Количество необходимого воска минимально, если периметр многоугольника заданной площади поверхности максимально мал. При строительстве ячеек с шестиугольным сечением расходуется меньше воска. Кроме того, пчёлы строят свои ячейки в два слоя, которые имеют общее дно, а стенки, из которых оно состоит, наклонены, чтобы ещё раз минимизировать количество используемого воска».
8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ
«Последовательность Фибоначчи» – это ряд, в котором каждый элемент (кроме первых двух) является суммой двух предыдущих (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8). Эта последовательность родилась из простой задачи, поставленной Фибоначчи: если пара кроликов рождает новую пару кроликов каждый месяц, которые через два месяца в свою очередь производят новую пару кроликов, сколько пар кроликов у нас будет через год в случае, если все кролики останутся живы?»
9. СОЛНЕЧНЫЕ ЧАСЫ
«Под солнечными часами мы подразумеваем прибор, позволяющий определять время по положению солнца, спроецированному на плоскость (вертикальную, горизонтальную или наклонную). Существуют различные проекции луча на плоскость, а также различные инструменты для определения текущего его положения: по тени объекта (гномону) или по свету, проходящему через щель или небольшое отверстие».
10. МАТЕМАТИКА
«Философия написана в этой великой книге, которая постоянно открыта перед нашими глазами (я имею в виду Вселенную), но её невозможно понять, если сначала не научиться понимать язык и узнавать его символы в том виде, как они были написаны. Его символы – это треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не может понять ни единого слова; это всё равно что тщетно блуждать по темному лабиринту». Галилео Галилей, «Пробирные весы», гл. VI.
11. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЛИЦА
12. ТЕОРИЯ ХАОСА
«Поведение динамической, т.е. развивающейся системы можно предсказать, если известны закономерности её изменений и начальное состояние. Желательно, чтобы небольшие изменения в исходном состоянии вызывали небольшие изменения в эволюции системы. К сожалению, так происходит не всегда. Это вызывает много проблем, поскольку мы никогда не сможем гарантировать математическую точность исходных данных, и поэтому нам будет очень трудно предсказать эволюцию системы, которая сильно меняет своё состояние, лишь немного изменив начальную точку».
13. КРУГ И ОКРУЖНОСТЬ
«Круг – это часть, ограниченная окружностью, или множеством точек, которые находятся не дальше фиксированного расстояния, называемого радиусом, от заданной точки, называемой центром. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от точки C, называемой центром. Это расстояние называется радиусом».
14. ДАНЬ АНТОНИО ГАУДИ
«Если подвесить цепь или трос, подверженный только силе веса, он расположится по кривой, называемой цепной линией. Функция, график которой представляет цепную линию, которую мы теперь называем гиперболическим косинусом, была выведена в 1691 году Готфридом Лейбницем, Христианом Гюйгенсом и Иоганном Бернулли, которые нашли решение задачи, поставленной Якобом Бернулли, братом Иоганна.
Термин «цепная линия» впервые был использован Гюйгенсом. Галилей утверждал, что подвешенная цепь представляет собой параболу, но его утверждение было оспорено немецким математиком Иоахимом Юнглусом в 1669 году. Цепная линия – это геометрическое скопление точек, описываемых фокусом параболы, катящейся по прямой. Кроме того, в 1774 году Эйлер показал, что поверхность вращения, образованная цепной линией, минимизирует площадь между поверхностями вращения. Упоминания цепной линии часто встречаются в архитектуре, например, в подвесных мостах, в строительстве сооружений и, прежде всего, в Casa Mila Антонио Гауди, Зимнем саду в Шеффилде и Арке «Врата Запада» в Сент-Луисе (штат Миссури)».
15. ТОЧНО ЧЕТЫРЕ?
«Операции, как мы их обычно знаем, основаны на десятичной системе счисления, то есть на основании 10. 2+2 равно 4 в десятичной, восьмеричной и любой другой системе счисления, большей 4, но, например, 2+2=10 в четверичной системе счисления».
16. ВОЗДУШНЫЕ ЗМЕИ ФИБОНАЧЧИ И СЕРПИНСКОГО
17. СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
«Это кривая, точки которой обладают свойством находиться на расстоянии от точки (полюса), пропорциональном углу, стороны которого представляют собой фиксированный луч, проходящий через полюс – луч, определяемый полюсом и точкой. Он развивается таким образом, что расстояние между одним витком и другим всегда остаётся одинаковым. Спираль Архимеда можно увидеть, наблюдая за простой паутиной. Сначала пауки плетут опорную конструкцию, а затем, начиная с центра, покрывают нити спиралью, всегда соблюдая одинаковое расстояние между витками. Архимедова спираль представляет собой самый быстрый (паук плетет свою паутину каждое утро) и самый регулярный (равное расстояние между спиральными рукавами) способ покрытия, в то время как логарифмическая спираль оставляет более крупные ячейки по мере удаления от центра, что делает сетку непригодной для удержания мелких насекомых».
18. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
«Магический квадрат – это таблица целых чисел, сумма которых в каждой строке, в каждом столбце и в обеих диагоналях всегда дают одно и то же число. Оно называется магической константой или магической суммой квадрата. Это широко изучаемая тема в теории чисел, которая часто встречается в искусстве. Самым известным примером является "Меланхолия" Дюрера».
19. СИММЕТРИЯ
«Фигура, которая остаётся неизменной при данном преобразовании, называется симметричной. Например, мы можем говорить о симметрии относительно линии или точки, а также о вращательной или трансляционной симметрии».
20. ЛЕМНИСКАТА: ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА
«Лемниската (или аналемма) определяется как кривая в форме перевернутой восьмёрки. Если бы мы наблюдали положение солнца из определенного места в определенное время дня в течение года, мы бы увидели нарисованную на небе аналемму. Солнце описывает этот путь, потому что: а) ось Земли наклонена по отношению к плоскости её орбиты вокруг Солнца на 23° 27', б) орбита Земли имеет эллиптическую форму. Таким образом, солнце опережает или задерживает своё прохождение через меридиан определённого места и времени, значение которого необходимо прибавить или вычесть из солнечного времени, чтобы получить пользовательское время. Вот почему на солнечных часах часто можно увидеть одну или несколько аналемм».
21. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ
«Таблица умножения известна нам с детства и является важным инструментом для изучения математики. Обычно все клетки заполнены, даже если один из двух составляющих её треугольников лишний. Здесь верхний треугольник пуст, однако это не влияет на полноту таблицы: ведь, мы можем прочитать "2x3 равно 6", а зная коммутативное свойство умножения, изменить порядок множителей, но произведение не изменится».
22. БОЖЕСТВЕННАЯ ПРОПОРЦИЯ
«Золотое сечение. В отрезке АВ точка P является золотым сечением, если отношение целого к отрезку А равно отношению отрезка А к меньшему отрезку Б.
Отрезок AB разделим точкой M на две равные части. Из конца B опустим перпендикуляр к отрезку до получения точки CB-MB. Из точки C с помощью циркуля проведём полуокружность до её пересечения с отрезком AC в точке D. Наконец, направив циркуль на точку А с радиусом AD, мы получим точку Е, которая делит отрезок на две части с золотой пропорцией (EA/ приблизительно равно 1,618)».
23. МАТЕМАТИКА
24. ДАННЫЕ
25 – хорошее число. Остановимся на этом количестве примеров, завершив нашим любимым Мёбиусом. С ним тоже связано когнитивное искажение, очень важное для бизнесменов и описанное Шином в его книге «Дао Белой Вороны: Управление изменениями, нацеленное на развитие».
25. ЛЕНТА МЁБИУСА
«Полоска бумаги шириной в несколько сантиметров, склеенная на концах, после того как один из них повёрнут, представляет собой одну из самых необычных и удивительных фигур в математическом мире. Она называется «лентой Мёбиуса», и её популярность вышла далеко за рамки математики. Сначала она была простой детской игрой, а затем в неё включились фокусники, художники и учёные».
Приглашаем вас посмотреть подборку Италия рядом, в которой вы найдёте интересные страницы из истории нашего итало-российского культурного обмена.
Автор: Маркушина Елена Геннадьевна (СПб, elena-markushina.com) –профессиональный директор по развитию организаций, основатель профсообщества Kinsmark.com, эксперт по управлению изменениями, преподаватель менеджмента.
От Редакции
Эта статья написана живым человеком без применения нейросетей, приложений и т.п. В неравной борьбе каналов за читательское внимание, пожалуйста, поддержите нас подпиской и лайком. Это добавит нам положительной мотивации продолжать работу. Вы также можете влиять на редакторскую политику, сообщив в комментариях, о чём в рамках наших тем вы бы хотели прочесть в будущих публикациях.