© Сергей Гурин. Россия, Рязань, 2025 год.
В декабре 2024 года посетил музей истории Казанского федерального университета. Гид, искренне преданная университету женщина, очень увлечённо и познавательно вела экскурсию. Страстный и насыщенный интересными фактами рассказ об истории университета не мог оставить равнодушным.
Однако, наиболее сильное впечатление оставила ее хвалебная речь о геометрии Н.И. Лобачевского, выдающегося математика, а также одного из ректоров КФУ. К тому же, в этом рассказе был упомянут еще один великий бунтарь ученого мира - А. Эйнштейн и его ТО.
Естественно, после этой оды победе Лобачевского над Евклидовой геометрией, и окончании более чем двухтысячелетней самозабвенной борьбы геометров с пресловутым пятым постулатом Евклида, стало необходимо подробнее познакомиться с предметом.
И, следуя рекомендациям самого Николая Ивановича, знакомство с его геометрией решил начать с работы "Геометрические исследования по теории параллельных линий". В электронной библиотеке КФУ, нашлось одноименное издание АН СССР 1945 года, в переводе и с комментариями, а также вступительными статьями и примечаниями профессора В.Ф. Кагана.
Выводы, к которым пришел при прочтении данной работы, изложил в данной статье.
Начну с предмета «великого геометрического противостояния», завершившегося, как считается, тем самым откровением Лобачевского – пятого постулата Евклидовой геометрии.
Этот постулат или аксиома, в самой распространенной трактовке утверждает, что если две прямые линии пересекает третья прямая линия, и с одной стороны от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то первые две прямые линии с этой стороны обязательно пересекутся (чертеж №1)
Другая популярная трактовка:
-в одной плоскости через точку, не лежащую на прямой линии, можно провести лишь одну другую прямую линию, не пересекающуюся с первой. При этом, внутренние углы с одной стороны от третьей прямой линии, проходящей через ту же точку и пересекающей первые две прямые линии, равны в сумме двум прямым (чертеж №2).
И вот эта пятая аксиома Евклидовой геометрии (хотя, как я понимаю, самый ранний из известных текстов с постулатами Евклида моложе его самого более чем на тысячу лет, и как могли измениться первоначальные формулировки, при переписывании за этот срок, одному Евклиду и было бы ведомо), называемая постулатом о параллельности, постоянно будоражила сознание математиков, заставляя их искать доказательства ее истинности. И каждый участник этой борьбы утверждал, что его доказательство лучше, а зачастую и то, что утверждения предыдущих вообще не имеют доказательной силы.
И вот в эту борьбу с Евклидовой параллельностью вступил и Николай Иванович Лобачевский. И хотя, как я понимаю, у него были и другие претензии к Евклидовому описанию геометрии, основное недовольство выражалось именно теории параллельности. Вот его слова (здесь и далее курсивом и набором "***" выделяю формулировки Николая Ивановича Лобачевского из указанной выше книги):
***Кто не согласится, что никакая математическая наука не должна была бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию; и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий***
Обобщив весь, накопленный до него, опыт доказательств пятого постулата, Лобачевский пришел к выводу, что никто так ничего и не доказал (впрочем, так делали и все предыдущие доказыватели):
***Измерение плоскостей основывается на том, что две линии сходятся, когда они стоят на третьей по одну сторону и когда одна перпендикул, а другая наклонена под острым углом, обращенным к перпендикулу. Линии АВ и CD должны сходиться по достаточном продолжении, если одна из них АВ перпендикулярна к ВС, а другая CD наклонена к ВС под острым углом С, обращенным к перпендикулу АВ. Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами***.
И конечно же сам Николай Иванович искренне считал, что данную проблему решил:
***Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году***
При погружении в тему стало очевидно, что в геометрии Лобачевского, претензии не касаются общих взаимоотношений между привычными геометрическими объектами, различия ограничиваются именно нестандартным подходом к вопросу параллельности. И уже этот, принятый за истину, нестандарт используется для дальнейших доказательств специфических, отличных от Евклидовой геометрии, закономерностей. В связи с чем, в данной статье основное внимание обращено на утверждения Лобачевского (он их называет ***Предложения***), имеющие отношение к вопросу параллельности. Причем полностью рассуждения Николая Ивановича будут приводиться только если это необходимо.
Начинает свои исследования по теории параллельных линий Лобачевский с Предложений необходимых, как он считает, для дальнейших доказательств:
***1) Прямая линия покрывает себя самое во всех положениях. Под этим я разумею, что при вращении поверхности прямая линия не меняет своего места, если она проходит через две неподвижные точки поверхности.***
***2) Две прямые не могут пересекаться в двух точках.***
Вполне очевидно, что эти два предложения справедливы только в случае если прямая линия на всем протяжении не меняет своего направления. Что можно определить и так: угол между любыми смежными отрезками прямой линии равен π (или развернутому углу).
***3) Прямая линия, будучи достаточно продолжена в обе «стороны, должна уходить за всякие пределы и таким образом делит ограниченную плоскость на две части.***
В Предложении № 4 Николай Иванович, в явном виде дает тот самый постулат Евклида, совершенно при этом не обсуждая его истинность, а значит считая его действительным.
***4) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, никогда не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали.***
***5) Прямая линия всегда пересекает другую прямую, если переходит с одной ее стороны на другую***.
***6) Вертикальные углы, у которых стороны одного составляют продолжения сторон другого, равны. Это справедливо как в применении к плоским прямолинейным углам, так и в применении к плоскостным двугранным углам.***
Очевидно, что Предложение № 6 справедливо только в случае если образующие углов являются прямыми линиями или плоскостями и не меняют своих направлений при переходе вершины углов.
***7) Две прямые не могут пересечься, если какая-либо третья прямая пересекает их под равными углами.***
Еще одно прямое упоминание пятого постулата, и снова никаких доказательств Николаю Ивановичу не требуется.
Предложения №№ 8-15 также ничего необычного не содержат.
***8) В прямолинейном треугольнике равным углам противолежат равные стороны, и обратно.
9) В прямолинейном треугольнике большей стороне противолежит также больший угол. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов, и прилежащие к ней углы острые.
10) Прямолинейные треугольники конгруэнтны, если у них равны сторона и два угла или две стороны и заключенный между ними угол или две стороны и угол, противолежащий большей стороне, или три стороны.»
11) Прямая линия, перпендикулярная к двум другим прямым, не лежащим с нею в одной плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, проведенным через точку их общего пересечения в плоскости двух последних прямых.
12) Пересечение шара плоскостью есть круг.
13) Прямая, которая перпендикулярна к линии пересечения двух плоскостей и расположена в одной из этих плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости.
14) В сферическом треугольнике равным сторонам противолежат равные углы, и обратно.
15) Сферические треугольники конгруэнтны, если у них равны две стороны и угол, заключенный между ними, или же сторона и прилежащие к ней углы.***
И наконец вот оно, то самое, начало новой теории параллельности Лобачевского данное в Предложении №16:
***16) Все прямые линии, выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия, одного и другого классов этих линий называется параллельной заданной линии. ... Угол между параллелью и перпендикуляром называется углом параллели (углом параллельности); мы будем здесь обозначать его через П(p) при AD=p....
Если П(р) есть прямой угол, то кроме параллели, все другие прямые по достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать заданную линию....
Если П(р) меньше прямого угла, то по другую сторону от перпендикуляра, под тем же углом П(р), будет проходить еще одна линия параллель, таким образом, мы должны отличать еще сторону параллельности.***
Видимо, чтобы не уподобляться тем, чьи попытки доказательств истинности пятого постулата критикует, Лобачевский просто сделал утверждение, что на плоскости через точку, находящуюся вне прямой линии, можно провести бесконечное число как пересекающихся (чертеж №3 зеленые линии), так и не пересекающихся (чертеж №3 синие линии) с ней прямых линий. И первые из непересекающихся с каждой стороны от перпендикуляра (чертеж №3 красные линии) он ОПРЕДЕЛЯЕТ как ПАРАЛЛЕЛИ.
Здесь очень важно отметить, что Лобачевский именно определяет какую прямую линию считать параллельной!!!
Полностью поддерживаю такой подход – параллельность требует только определения, но совершенно не согласен в реализации. Считаю, что единственно верное определение параллельности (далее буду называть ее нормальной), следующее: линии считаются параллельными, если расстояние между ними не изменяется. Причем, данное определение не ограничивается только прямыми линиями, оно применимо к любым линиям и поверхностям. И после определения доказывать уже необходимо не его истинность, а соответствие конкретных построений данному определению, что в корне меняет всю ситуацию. И если бы, такое определение было принято сразу, не было бы пустой борьбы с пятым постулатом и «несовершенством в теории параллельности», собственно, и такая теория в данном случае становиться излишней.
Однако, Николай Иванович (как и другие высокоранговые математики) посчитал, наверное, такой исход слишком простым для себя, не сулящим никакой сенсационности и эксклюзивности, и дал параллелям свое определение, на котором и построил, как он сам ее называл «воображаемую» геометрию.
Предложения № 17 и 18 вполне обычные утверждения пусть и применительно к необычной параллельности.
***17) Прямая линия сохраняет признак параллельности во всех своих точках.
18) Две линии всегда взаимно параллельны.***
А для Предложения № 19 необходимо привести оригинальное доказательство.
***19) В прямолинейном треугольнике сумма трех углов не может превышать двух прямых.
Допустим, что в треугольнике ABC (чертеж №4) сумма трех углов равна π+α; если его стороны не равны, возьмем наименьшую из них ВС, разделим ее пополам в D, проведем из А через D линию AD и на ее продолжении сделаем DE равным AD; затем соединим точку Е с точкой С прямой ЕС. В равных треугольниках ADB и CDE угол ABD=DCE и BAD=DEC (предложения 6 и 10);
отсюда следует, что в треугольнике АСЕ сумма углов также должна быть равна π+α; кроме того, наименьший угол ВАС треугольника ABC (предложение 9) перешел в новый треугольник АСЕ, причем он разбился на две части ЕАС и АЕС. Продолжая таким же образом, разделяя при этом пополам каждый раз ту сторону, которая противолежит наименьшему углу, мы необходимо придем к треугольнику, сумма трех углов которого равна π+α, но в котором окажутся два угла, каждый из которых по абсолютной величине меньше 1/2α; так как, однако, третий угол не может быть больше π, то α должно быть либо нулем, либо отрицательным.***
Однако, используя аналогичное рассуждение с суммой углов треугольника равной π-α, приходим к выводу, что при неограниченном повторении меньшие углы будут практически равны 0, а значит меньшие стороны совместятся с большей. Но тогда больший угол треугольника и, соответственно, сумма его углов должны стать равными π, из чего следует, что α должно быть равно нулю.
По сути Предложение № 19 - вклад Лобачевского в доказательство невозможности превышения суммой углов прямолинейного треугольника, а при развитии рассуждений, также и невозможности для нее быть меньше π. Однако, Николай Иванович не развивает свои рассуждения в данном направлении и, скорее всего по причине того, что сумма углов прямолинейного треугольника меньшая π, неотъемлемое условие существования его параллельности (и в дальнейшем это станет очевидно). Тем не менее Предложение №20 формулируется следующим образом:
***20) Если в каком-либо прямолинейном треугольнике сумма трех углов равна двум прямым, то это имеет место и во всяком другом треугольнике.***
То есть, Лобачевский, по сути, утверждает, что во всех прямолинейных треугольниках сумма углов одинакова.
Однако в ходе доказательства Николай Иванович приходит и к такому выводу:
***возможны только два допущения: либо сумма трех углов во всех прямолинейных треугольниках равна π, либо же она во всех треугольниках меньше π***
Но выбор так и не свершился, Лобачевский в последующих Предложениях умудряется использовать оба этих, явно противоречащих, допущения.
В следующем Предложении Николай Иванович сам доказывает, что его параллельности быть не может:
***21) Из данной точки всегда можно провести прямую линию таким образом, чтобы она образовала с данной прямой сколь угодно малый угол.***
То есть, Лобачевский предполагает и доказывает, что при неограниченном продолжении наклонные друг к другу прямые линии всегда пересекаются, так как между ними всегда есть сколь угодно малый угол. А угол предполагает наличие вершины - точки пересечения образующих его прямых линий, которые должны создавать и угол равный первому после пересечения.
Далее следует очередное доказательство равенства суммы углов прямолинейного треугольника π:
***22) Если два перпендикуляра к одной и той же прямой линии параллельны между собой, то в прямолинейных треугольниках сумма трех углов равна π.***
Однако, в процессе доказательства Лобачевский приходит к выводу, что:
*** всех прямолинейных треугольниках сумма трех углов либо равна π, и тогда угол параллельности П(р)=1/2π для любой линии р, либо во всех треугольниках эта сумма меньше π, и тогда также П(р)<1/2π.***
Но и в этом случае нет необходимости выбирать, что Николай Иванович и подтверждает следующим:
***Первое предположение служит основой обыкновенной геометрии и плоской тригонометрии. Второе предположение также может быть допущено, не приводя ни к какому противоречию в результатах; оно обосновывает новое геометрическое учение, которому я дал название «воображаемая геометрия» и которое я здесь намерен изложить вплоть до вывода уравнений между сторонами и углами прямолинейных и сферических треугольников.***
Как по мне, так Николай Иванович явно перевоображал, ведь немногим ранее он же поставил между двумя этими случаями слово ЛИБО (что равноценно логическому оператору «ИЛИ»), а стало быть сам сделал их взаимоисключающими, верно ЛИБО одно, ЛИБО другое.
Но это еще не все, далее еще интереснее.
***23) Для любого заданного угла α можно найти такую Линию р, что П(р)=α.***
Это Предложение необходимо дополнить оригинальными чертежом и доказательством.
***Пусть АВ и АС (чертеж №5) — две прямые линии, образующие при пересечении острый угол α; на АВ возьмем произвольно точку В', из этой точки опустим на АС перпендикуляр В'А', сделаем А'А"=АА', восставим в А" перпендикуляр А"В" и так будем продолжать до тех пор, пока придем к перпендикуляру CD, который уже не встречает АВ. Это необходимо должно иметь место, ибо если в треугольнике АА'В' сумма всех трех углов равна π-α, то в треугольнике АВ'А" она равна π-2α, в треугольнике АА"В" она меньше π-2α (предложение 20) и т. д., пока она, наконец, не станет отрицательной и этим обнаружит невозможность образования треугольника. Перпендикуляр CD может оказаться именно тем, до которого все перпендикуляры из точек, лежащих ближе к А, пересекают АВ; во всяком случае, при переходе от пересекающих к непересекающим, такой перпендикуляр FG должен существовать. Теперь из точки F проведем линию FH, образующую с FG острый угол HFG и именно с той стороны, с которой лежит точка А. Из какой-либо точки Н линии FH опустим на АС перпендикуляр НК, продолжение которого, следовательно, должно пересечь АВ где-либо в B; он образует, таким образом, треугольник АКВ, внутрь которого входит продолжение линии FH, и потому оно должно встретить гипотенузу АВ где-либо в М. Так как GFH есть произвольный угол и может быть взят сколь угодно малым, то FG параллельна АВ и AF=p (предложения 16 и 18).***
Но тут даже перевоображал - мягко сказать! Мало того, что Лобачевский сразу отметает равенство суммы углов прямолинейного треугольника π, принимая ее равной π-α, так еще и отменяет ее постоянство – сначала она у него равна π-α, затем π-2α, затем уже π-3α и … π-nα, пока π не станет меньше nα.
И тогда неизбежно происходит чудо - перпендикуляр от прямой FG не встречается с получающейся прямой линией. При этом Лобачевский ссылается на Предложение № 20, но ведь там он, помимо всего, утверждает постоянство суммы углов треугольника. Значит в получающемся каждый раз новом треугольнике АА"В", АА'''В''' и даже АCD - такой же прямолинейный треугольник, как и первый АА'В', и в нем сумма углов также должна быть также равна π-α. Но зачем об этом вспоминать, ведь все так хорошо идет.
Кстати, всю абсурдность идеи равенства суммы углов прямолинейного треугольника π±α, демонстрирует очень простой пример. Представим прямолинейный треугольник ABC, который разбиваем на бесконечное количество внутренних треугольников, в каждом из которых сумма углов должна быть π±α. В этом случае становиться очевидным, что для существования того самого первоначального треугольника ABC αдолжно быть равно 0. И сумма углов прямолинейного треугольника должна быть равна π. Почему именно π? А все очень просто.
Здесь необходимо сделать отступление и обратить внимание на то, что именно доказательство равенства или неравенства суммы углов прямоугольного треугольника π и будет считаться доказательством справедливости или несправедливости пятого постулата Евклида. И вот здесь то великие умы сами нашли себе неразрешимую проблему.
И именно нерешенность проблемы однозначности равенства суммы углов прямолинейного треугольника двум прямым или развернутому углу, и лежит в основе всех разногласий с Евклидовой параллельностью. Доказательство почему-то обязательно сводилось к доказательству двух крайностей – сумма углов не может превышать и не может быть меньше двух прямых углов. Каких только геометрических изысков для этого не напридумали, сколько было потрачено сил и нервной энергии.
Так почему же сумма углов прямолинейного треугольника равна π?
Этому есть весьма простое, и не зависящее ни от сторон треугольника, ни от их величины и соотношений, ни даже от значений углов треугольника, объяснение. На чертеже ниже (чертеж №6) представляю свое (почему бы и не поучаствовать в этом состязании) доказательство равенства суммы углов прямолинейного треугольника именно π, то есть половине полного угла.
Сразу становиться очевидна и справедливость Евклидового постулата о параллельности. Ведь если сумма внутренних углов с одной стороны от прямой линии, пересекающей две другие, равна π, то третьего угла между пересеченными прямыми линиями просто быть не может, и эти две прямые линии, не только никогда не пересекутся, но и расстояние между ними будет постоянным на всем протяжении, так как они не имеют наклона друг к другу ни с одной стороны от пересекающей линии ни с другой. Однако же, это приводит и к необходимости переосмысления самого пятого постулата – это уже не аксиома о параллельности, а объявление необходимого и достаточного условия существования треугольника. И в самом деле: необходимо чтобы две прямые линии пересекались третьей, и достаточно чтобы сумма внутренних углов с одной стороны этой третьей линии была меньше двух прямых углов.
Однако не должно, наверное, великим умам опускаться до такой простоты, вот и создали сами себе неразрешимую проблему.
Снова возвращаюсь к Предложению № 23 Лобачевского.
Далее Николай Иванович, помимо обозначенных им метаморфоз с суммой углов прямолинейного треугольника, утверждает следующее:
***Легко усмотреть, что с уменьшением р угол α возрастает, приближаясь при р=0 к 1/2π; с возрастанием р угол α уменьшается, все более приближаясь к нулю при р=∞. Так как совершенно произвольно, какой угол разуметь под символом П(р), когда линия р выражается отрицательным числом, то мы примем П(р)+П(-р)=π, каковое равенство должно иметь место для всех значений р, как положительных, так и отрицательных, а также для р=0.***
Где Николай Иванович усмотрел зависимость П(р) от р? И разве при p=0 наличие параллельности не теряет всякий смысл? Ведь в этом случае необходимо наложить две прямые линии, а в одной плоскости не может быть двух прямых линий, наложенных друг на друга.
Однако, в отдельности, критичность этого вывода не вполне очевидна. А вот уже вместе со следующим Предложением № 24, вывод Лобачевского об изменении угла параллельности при изменении расстояния между параллельными линиями имеет особое значение. Хотя доказательство Предложения № 24 само по себе просто кладезь несуразностей.
***24) Чем далее параллельные линии продолжаются в сторону параллельности, тем более они друг к другу приближаются.***
Хотя данное утверждение интуитивно понятно исходя из определения параллельности Лобачевского, необходимо привести оригинальные чертеж и доказательство.
***К прямой АВ (чертеж №7) восставим два перпендикуляра AC=BD и конечные их точки соединим прямой линией CD. Тогда четырехугольник CABD будет иметь два прямых угла при А и В, а при С и D — два острых угла (предложение 22), которые равны между собой, как в этом легко убедиться, налагая этот четырехугольник на самого себя так, чтобы линия BD упала на АС, а АС — на BD. Разделим АВ пополам и в точке деления Е восставим перпендикуляр EF к АВ. Он должен быть также перпендикулярен к CD, потому что четырехугольники CAEF и FEBD покрывают друг друга, если наложим их друг на друга так, чтобы линия FE осталась в том же положении. Вследствие этого линия CD не может быть параллельна АВ, параллель же к последней в точке С, именно CG, должна быть наклонена в сторону АВ (предложение 16) и отсечет от перпендикуляра BD часть ВG<СА. Так как точка С на линии CG произвольна, то отсюда следует, что CG тем более приближается к АВ, чем далее мы ее продолжаем.***
Здесь уже вполне очевидно, что Николай Иванович определился наконец со значением суммы углов прямолинейного треугольника - в его изысканиях она необходимо должна быть меньше π (это понятно по ссылке на Предложение № 22), что и позволяет делать утверждение о том, что в четырехугольнике два прямых и два острых угла.
Только не вполне понятно, чего же Лобачевский ограничился указанными движениями четырехугольников, почему бы четырехугольник CABD не наложить на самого себя так, чтобы CD падала на AB, а для CAEF и FEBD не совместить FE с CA и EF с BD?
Кроме того, разве каждый четырехугольник CAEF и FEBD в отдельности не есть такой же четырехугольник CABD и углы при вершине F не должны быть острыми? Но они не могут быть одновременно и острыми, и прямыми (если EFперпендикулярна CD). И так можно делить четырехугольники до бесконечности. Но самое интересное, что данный четырехугольник соответствует четырехугольнику, который придумал итальянский математик Д. Д. Саккери (о чем в примечаниях пишет и профессор Каган). В таком четырехугольнике верхнее основание всегда больше параллельного нижнего, что приводит к тому, что боковые стороны (перпендикулярные к нижнему основанию) неограниченно расходятся при увеличении расстояния между основаниями. Полноту бредовости существования такого четырехугольника, как плоской фигуры, можно узреть если представить рядом два таких четырехугольника, нижние основания которых расположены на одной прямой. Очевидно, что из соседних боковых сторон этих четырехугольников и отрезков между ними, возможно составить такой же четырехугольник Саккери, в котором эти же боковые стороны также должны расходиться, но тогда получается, что они должны это делать уже в другие стороны. То есть одна и та же линия (боковая сторона) должна уклоняться в две противоположные стороны сразу, что естественно невозможно.
Однако Лобачевский, исходя из своей ВООБРАЖЕННОЙ параллельности, утверждает также, что основанию АВ (чертеж №7) параллельно не основание CD, а некая наклонная к AB линия CG и доказывает, что из-за своего наклона она приближается к AB. Но при этом, являясь параллелью AB, не должна ее пересечь при их неограниченном продолжении?! А как же тогда, очевидное линейное (в виду декларируемой прямолинейности прямых линий) уменьшение расстояния согласуется с неуменьшением его сначала до нуля и неувеличением его затем с другой стороны AB? Вот для этого и необходимо, чтобы угол параллельности зависел от расстояния!
И уже с учетом того, что расстояние между параллельными линиями постоянно уменьшается, зависимость угла параллельности от расстояния, утверждаемая в предыдущем Предложении, однозначно приводит к тому, что по мере приближения друг к другу параллельные линии Лобачевского (чертеж №3 красные линии), а вместе с ними и другие лежащие вне угла параллельности (чертеж №3 синие линии), обязаны менять угол наклона по мере своего продолжения, то есть не могут быть прямыми линиями в Лобачевского же разумении, которое он раскрыл в Предложении № 1! А так как к любой прямой линии может быть построена взаимно параллельная ей (Предложение № 18), то это означает, что в геометрии Лобачевского, не может быть прямых линий, плоскостей, прямолинейных фигур, а также тел, образованных их движениями. И это в полной мере относиться и к другим разновидностям геометрии с ненормальной параллельностью.
Три последующих Предложения комментировать нет необходимости, в виду тривиальности утверждений.
***25) Две прямые линии, параллельные третьей, параллельны между собой.
26) На поверхности шара противолежащие друг другу треугольники имеют одинаковую площадь.
27) Трехгранный телесный угол равен полусумме его двугранных углов без прямого.***
А вот Предложение № 28 необходимо обсудить.
***28) Если три плоскости пересекаются по параллельным линиям, то сумма трех двугранных углов [ими образуемых] равна двум прямым.***
Как видно из чертежа, для доказательства этого Предложения Николай Иванович, пересек три плоскости четвертой ACD, расположенной под углом ω к плоскости AA'CC', и построил в точках ее пересечения с линиями пересечения первых трех плоскостей сферические треугольники. При этом Николай Иванович утверждает, что углы A'AD и C'CD равны ω. В результате доказательства, Лобачевский получил такую зависимость: δ=1/2(X+Y+Z-π)-α-β+ω, где X, Y, Z углы между тремя плоскостями, а δ, α и β величины сферических треугольников (у точек D, A и C соответственно). Основываясь на полученном выражении, и на том, что при удалении точки D от линии AC уменьшается и угол ω (из-за приближения плоскости ACD к плоскости AA'CC'), Николай Иванович делает вывод:
***С уменьшением ω уменьшается также величина треугольников α и β, так что α+β-ωможет быть сделано меньше любого данного числа. В треугольнике δ стороны l и mтакже могут быть уменьшаемы до уничтожения (предложение 21). Следовательно, треугольник δ может быть отложен одной из своих сторон l и m по большому кругу сферы сколько угодно раз и все-таки не заполнит полусферы; поэтому δ исчезает вместе с ω отсюда следует, что необходимо должно быть X+Y+Z=π.***
Вроде бы все логично...
Однако, тут интересная закавыка получается – из представленного Николаем Ивановичем доказательства (с использованием сферических треугольников), получается, что сумма углов между тремя пересекающимися попарно плоскостями в любом случае будет равна π, если линии их пересечения сами никогда не пересекутся. Ведь только в этом случае возможно бесконечное уменьшение до незначащих значений сферических треугольников. Но у Лобачевского ведь не только «параллельные» линии не пересекаются. И в этом случае Предложение № 28 не должно ограничиваться только «параллельными» линиями, а должно включать и все непересекающиеся линии (чертеж № 3 синие линии), но про это ни слова не сказано. К тому же, углы A'AD и C'CD, будут равны ω. только если и плоскости AСD и AA'CC'перпендикулярны к плоскостям AA'BB' и BB'CC', что естественно невозможно.
В подобной ситуации при нормальной параллельности (определение которой я дал в комментарии к Предложению № 16) доказательство равенства суммы углов между тремя пересекающимися по параллельным прямым линиям π, сводится к тому, что перпендикуляры к линиям пересечения (углы между которыми и есть истинные углы между плоскостями), составляют обычный прямолинейный треугольник (которых в геометрии Лобачевского в принципе не может быть из-за невозможности существования прямых линий вообще), а сумма его углов, как я уже доказал в комментариях к Предложению № 23 равна π.
Кроме того, полученное Лобачевским выражение δ=1/2(X+Y+Z-π)-α-β+ω можно преобразовать так: X+Y+Z=π+2δ+2(α+β-ω), и тогда становиться очевидным, что сумма углов между плоскостями никогда не сможет быть равной π пока существуют сферические треугольники, которые существуют пока существует угол ω. А угол ω неуничтожим и Николай Иванович сам это доказал в Предложении № 21.
Дальше Лобачевский делает Предложения, принципиально отвергающие само существование прямолинейного треугольника.
***29) В прямолинейном треугольнике перпендикуляры, восставленные из середин сторон, либо [вовсе] не встречаются, либо все три пересекаются в одной точке.***
Здесь Николай Иванович, сначала доказывает, что они встречаются в одной точке, а затем пишет:
***Если поэтому примем, что два из этих перпендикуляров не пересекаются, то и третий не может с ними встретиться.***
И вывод этот он делает и доказывает его в Предложении № 30, используя свою параллельность.
***30) Перпендикуляры, восставленные к сторонам прямолинейного треугольника из их середин, должны быть все три друг другу параллельны, если предположим параллельность двух из них.***
На мой взгляд, утверждая это, Николай Иванович явно не продумал тезис и его последствие. Очевидно же, если перпендикуляры к сторонам треугольника параллельны, то тогда должно быть справедливо и то, что по крайней мере большая сторона (треугольника) должна быть параллельна меньшим. А из Предложения № 25 о том, что две параллельные прямые линии параллельные третьей параллельны между собой, следует, что стороны треугольника Лобачевского параллельны друг другу и просто не могут пересекаться! То есть треугольника просто не может существовать! И в этом случае не спасает даже воображенная параллельность и неизбежная непрямолинейность прямых линий Лобачевского (здесь сторон треугольника и перпендикуляров к ним) – пересечений просто быть не может. А раз он однозначно признает существование прямолинейных треугольников (подтверждая это постоянным их использованием), то должен однозначно признавать и пересечение перпендикуляров к их сторонам.
Но рационализаторский напор Николая Ивановича только нарастает.
Дальнейшим его совершенствованием становиться создание предельных линий и предельных поверхностей.
***31) Предельной линией (орициклом) мы называем такую расположенную в плоскости кривую линию, у которой все перпендикуляры, восставленные из середин ее хорд, параллельны между собой.***
По чертежу вполне очевидно, что это дальнейшее развитие Предложения № 30 о том, что перпендикуляры сторон треугольника параллельны друг другу. А что в этом случае должно наблюдаться уже понятно – треугольника ABC, через вершины которого проходит дуга предельной линии, существовать не может. Соответственно не может существовать и его вершин, через которые должна проходить предельная линия. То есть существование такой линии невозможно из соображений самого же Лобачевского.
Следующее Предложение № 32, пожалуй, самая наглядная демонстрация нереальности всей концепции.
***32) Круг, радиус которого возрастает, переходит в предельную линию***
Доказательство приводит Лобачевского к следующему утверждению: ***...предельная линия может называться также кругом с бесконечно большим радиусом...***
Но ведь круг с бесконечно большим радиусом неизбежно вырождается в прямую линию, тогда любую прямую линию по Лобачевскому надо отождествлять с предельной кривой. Значит, либо в геометрии Лобачевского не может существовать прямых линий, либо – предельных дуг.
Однако, понять данное Предложение можно и по другому: предельные линии существуют, но тому, кто попытается их пронаблюдать, надо построить круг с бесконечным радиусом, а так как сделать это невозможно даже теоретически, принимайте утверждения Лобачевского как неопровержимые.
Комментарии, как говориться, излишни.
Конечно, можно предположить, что пространство Лобачевского весьма ограничено (данное объяснение даже имеет место быть) и тогда, из-за очевидной ограниченности продолжения линий, могут существовать и предельные линии, и предельные поверхности, и его параллельно наклонные и многие другие непересекающиеся, но лежащие в одной плоскости прямые линии. Хотя и в этом случае прямолинейность линий совершенно не согласуется с зависимостью угла параллельности от расстояния между параллельными линиями, ведь расстояние между наклонными «параллельными» постоянно меняется. Однако, Николай Иванович нигде не утверждает и даже не предполагает ограниченности пространства, в котором реализуется его воображение. Наоборот, все его доказательства требуют бесконечности линий, а значит и бесконечности пространства их содержащего, что неизбежно требует и искривления «прямых» линий.
В Предложении № 33 Лобачевский еще раз подтверждает, что в его пространстве прямые линии вовсе не прямые.
***33) Пусть АА'=ВВ'=x будут две линии, параллельные в сторону от А к А', а их параллели служат осями двух предельных дуг (дуг на двух предельных линиях) AB=S, А'В'=S' тогда S'=Se-х, где е не зависит ни от дуг S и S', ни от прямой x, т. е. от расстояния дуги S' от S.***
Меня всегда поражало то, с какой легкостью рассуждателями и родителями всяческих теорий предлагается вид совершенно не определенных зависимостей. Однако, в данном случае ни ход доказательства, ни конкретный вид предложенной Лобачевским зависимости длин дуг, не принципиален, гораздо важнее вывод:
***Здесь можно еще отметить, что S'=0 для x=∞, поэтому расстояние между двумя параллелями не только уменьшается, но при продолжении их в сторону параллелизма в конце концов совершенно исчезает. Параллельные линии имеют, таким образом, характер асимптот.***
Асимптот к самим себе надо полагать. Вполне откровенно. Тогда получается, что из двух параллельных линий одна должна быть асимптотой, а другая, соответственно, кривой приближающейся к асимптоте (как Лобачевский их разделял то во взаимной параллельности). Иначе, если обе линии асимптоты, то есть, являются прямыми линиями, не меняющими направления в пространстве вдоль самих себя, они обязательно пересекутся, из-за линейного же уменьшения расстояния между ними. Не линейная функция расстояния между линиями, отражающая асимптотическое поведение, свидетельствует о том, что, по крайней мере, одна из параллельных линий Лобачевского кривая. Но так как линии Лобачевского в своей «воображенной» параллельности взаимны, то единственный логичный вывод – они все кривые, неизбежно включая и линии, используемые Лобачевским для доказательств. Учитывая это, применение Николаем Ивановичем в своих доказательствах свойств прямых линий и прямолинейных фигур выглядит как мошенничество.
***34) Предельной поверхностью (орисферой) называется поверхность, которая получается вращением предельной линии вокруг одной из своих осей, каковая вместе со всеми другими осями предельной линии будет также осью поверхности.***
А оси вращения ведь тоже параллельные - значит кривые линии, и вокруг какой части такой разнонаправленной оси, вращается созданная Лобачевским предельная линия? Вопрос риторический.
Далее Николай Иванович предлагает свое видение и отношений параметров прямолинейного треугольника.
***35) В дальнейшем мы будем обозначать величину линий буквой со штрихом, например х', чтобы указать, что таковая находится к другой линии, обозначаемой той же буквой без штриха, в соотношении, выраженном уравнением П(х)+П(х')=1/2π.
Пусть теперь ABC (чертеж №10) будет прямолинейный прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза АВ=c, катеты АС=b, ВС=a, а противолежащие им углы суть ВАС=П(α), АВС=П(β). В точке А восставим перпендикуляр АА' к плоскости треугольника ABC и из точек В и С проведем ВВ' и СС' параллельно АА'.
Плоскости, в которых эти три параллели лежат, образуют между собой углы П(α) при АА', прямой при СС' (предложения 11 и 13) и, следовательно, П(α') при ВВ' (предложение 28). Пересечения линий ВА, ВС, ВВ' с шаровой поверхностью, описанной вокруг точки В как центра, определяют сферический треугольник mnk, в котором стороны mn=П(c), kn=П(β), mk=П(a); противолежащие им углы суть П(b), П(α'), 1/2π. (профессор Каган пояснил, что вершина m лежит на прямой ВВ', n на ВА, k на ВС). Поэтому вместе с существованием прямолинейного треугольника со сторонами а, b, с и противолежащими им углами П(α), П(β), 1/2π, нужно допустить также существование сферического треугольника (чертеж №11) со сторонами П(c), П(β), П(a) и противолежащими углами П(b), П(α'), 1/2π.
Но и, обратно, для этих двух треугольников существование сферического треугольника влечет за собой существование прямолинейного, который поэтому также может иметь стороны a, α', β и противолежащие им углы П(b'), П(c), 1/2π. Поэтому от a, b, c, α, β можно перейти к b, a, c, β, α, а также к α, α', β, b', c.***
Вот же закрутил так закрутил Николай Иванович. Мало того, что от прямолинейного треугольника он перешел к сферическому. При этом, эти преобразования явно зависят от величины «угла параллельности». Так еще и от одного сферического треугольника он переходит к другому, потом и к другому прямолинейному. Чего же Лобачевский остановился на двойном преобразовании, продолжать то можно бесконечно.
Однако это не все.
Если линия СС' параллельна АА' по Лобачевскому, то она должна иметь наклон к АА' в плоскости АА'СС', на угол параллельности П(c).При этом, да, возможно сохранение угла между плоскостями АА'СС' и ВВ'СС' а также угол ВСС' прямыми путем поворота СС' вокруг стороны a треугольника ABC.
А вот с линией ВВ' немного посложней. При параллельности Лобачевского к линиям АА' и СС', ВВ' должна иметь наклон к плоскости треугольника ABC и в плоскости АА'ВВ' к АА' и в плоскости ВВ'СС' к СС', на углы параллельности П(b) и П(a)соответственно. Но при этом невозможно сохранить прямой угол между плоскостью АА'ВВ' и треугольником ABC, то есть угол, противолежащий стороне mk сферического треугольника не будет равен 1/2π. Да и насчет сохранения угла В'BA равному предполагаемому углу П(a) в данной ситуации также имеются сомнения.
То есть, связанные треугольники: прямолинейный АВС и сферический mnk естественно существуют, однако соотношение сторон и углов будет не совсем таким, каким его определил Лобачевский.
Но, на этом Николай Иванович, конечно же, не остановился.
***Представим себе предельную поверхность, проходящую через точку А и имеющую осью [линию] АА' (чертеж №12);
[эта поверхность] пересечет две другие оси ВВ' и СС' в В" и С", а пересечения ее с плоскостями параллелей образуют предельный треугольник, стороны которого В"С"=р, C"A=q, В"А=r, противолежащие же им углы суть П(α), П(α'), 1/2π, следовательно, р=rsinП(α), q=rcosП(α). Теперь нарушим соединение трех главных плоскостей по линии ВВ' и развернем их таким образом, чтобы они вместе со всеми находящимися в них линиями расположились в одной плоскости; в этой плоскости дуги р, q, r соединятся в одну дугу предельной линии, проходящей через точку А и имеющей АА' своей осью (чертеж № 13);
при этом по одну сторону [оси АА'] расположатся дуги q и р; сторона b треугольника, которая в точке А перпендикулярна к АА'; ось СС', идущая от конца стороны b параллельно АА' и проходящая через точку соединения С" [дуг] р и q; сторона а — перпендикулярная к СС' в точке С, а также выходящая из конца этой стороны ось ВВ', параллельная АА' и проходящая через конец В" дуги р. По другую сторону АА' будут лежать: сторона с, перпендикулярная к АА' в точке А, и ось ВВ', параллельная АА' и идущая от конца [стороны] с через конечную точку В" дуги r. Величина линии СС" зависит от b, каковую зависимость мы выразим через СС"=ƒ(b). Таким же образом будет ВВ"=ƒ(с).
Если, принимая СС' за ось, проведем из точки С новую предельную линию до пересечения D с осью ВВ' и обозначим дугу CD через t, то BD=ƒ(a), ВВ"=BD+DB"=BD+СС" и, следовательно, ƒ(c)=ƒ(a)+ƒ(b). Кроме того, мы замечаем (предложение 33), что t=peƒ(b)=rsinП(α)eƒ(b).
Если бы перпендикуляр к плоскости треугольника ABC(черт. 28) был восставлен не в точке А, а в В, то линии с и rостались бы те же, дуги q и t перешли бы в t и q, прямые а и b в b и а, а угол П(α) заменился бы углом П(β); следовательно, мы имели бы q=rsinП(β)eƒ(a); подставляя вместо q его значение находим cosП(α)=sinП(β)eƒ(a), заменяя же α и β через b' и c', получим sinП(b)=sinП(c)eƒ(a), и умножая на eƒ(b): sinП(b)eƒ(b)=sinП(с)eƒ(с); Отсюда следует также sinП(a)eƒ(a)=sinП(b)eƒ(b).
Так как, однако, прямые а и b друг от друга не зависят, а с другой стороны, при b=0, ƒ(b)=0, П(b)=1/2π, то для любой прямой линии а e-ƒ(a)=sinП(a); сообразно этому sinП(c)=sinП(a)sinП(b), sinП(β)=cosП(α)sinП(a)***
Ох как же я люблю эти математические игры, поиграем вместе.
С чего это отношения сторон плоских прямолинейных треугольников (синусы и косинусы) применяются к треугольнику околосферическому, вырезанному из предельной поверхности?
Если бы перпендикуляр к плоскости треугольника ABC был бы построен в точке C, а не в A, то это была бы уже другая ситуация. Тогда бы уже линии АА’ пришлось бы отклоняться на два разных «угла параллельности» к линии ВВ' и СС", мало того, она еще должна была бы оставаться в плоскости СС"АА', перпендикулярной к треугольнику ABC и одновременно находиться в плоскости ВВ'АА', наклонной к тому же треугольнику.
И как-то сомнительно чтобы Николай Иванович о тангенсах не слышал, и поэтому говорит о независимости катетов в прямоугольном прямолинейном треугольнике ABC. Забыл, наверное.
Кроме того, чисто математический вывод о том, что при b=0 sinП(a)=e-ƒ(a), такая же игра, ведь при b=0треугольника ABC просто не существует, не существует и сферических треугольников, не существует и всего хода размышления. Того, что привел Лобачевского к следующему ошеломляющему выводу:
***Таким образом, сферическая тригонометрия не зависит от того, равна ли в прямолинейном треугольнике сумма трех углов двум прямым или нет.***
Обалдеть просто, а как же тогда применение в сферических треугольниках синусов, косинусов и других тригонометрических функций, которые есть отношения сторон того самого прямолинейного прямоугольного треугольника и получены именно из условия равенства суммы его углов π?
Ну а в целом, это очередное «великое» откровение, такое же как равенство гравитационной и инертной масс или существование красной границы фотоэффекта. Кстати, автору этих откровений весьма нравилась геометрия Лобачевского. Жаль не встретились эти двое, ох навоображали бы.
Прямолинейная тригонометрия и не должна определять происходящее на криволинейной поверхности! Кроме, правда, того, что, если сумма углов треугольника не равна π, то он явно непрямолинейный.
Однако нельзя не отметить, что стороны Любого сферического треугольника есть проекции на сферу кратчайших пространственных расстояний между его вершинами, то есть сторон прямолинейного треугольника, находящегося в плоскости пересекающей сферу. Да и сами углы все также измеряются по прямым линиям, лежащим в одной плоскости.
Последние два Предложения №№ 36, 37 данной работы Лобачевского, представляют из себя довольно густой набор формул (причем обычной плоской тригонометрии), поэтому здесь повторять их целиком не буду. Приведу лишь используемые им чертежи, на основании которых, используя полученные в своей вымышленной геометрии формулы, Николай Иванович приходит к неким общим и новым, по его мнению, отношениям углов и сторон в треугольниках.
Как видно, никакого отличия от обычной Евклидовой тригонометрии в этих чертежах нет. Единственное отличие – название сходящихся прямых линий «параллельными» и использование того самого угла параллельности П(р). Который ничем не отличается от обычных углов и подвергается самым обычным тригонометрическим манипуляциям.
Однако утверждения Лобачевского, основывающиеся на этих обычных тригонометрических визуализациях, довольно своеобразны. Получив общие выражения для соотношений углов и сторон треугольников в своей «воображаемой» геометрии, он приходит к выводу, что если треугольник ну очень маленький, то его можно считать прямолинейным и сумма его углов становиться равной π, и далее Николай Иванович пишет:
***Таким образом, воображаемая геометрия переходит в обыкновенную, если предположим, что стороны прямолинейного треугольника очень малы.***
При этом, никаких критериев малости. Однако, сразу же Николай Иванович поясняет свою мысль следующим:
***...мы не располагаем никаким другим средством, кроме астрономических наблюдений, чтобы судить о точности, которую дают вычисления обыкновенной геометрии. Как я показал в одной из моих работ, эта точность простирается далеко, так что, например, в треугольниках, стороны которых доступны нашим измерениям, сумма углов не отличается от двух прямых даже на сотую долю секунды.***
Вот уж точно «горе от ума»! То есть, с одной стороны, сумма углов будет равна π в очень маленьком таком треугольничке, но, с другой - даже в астрономических масштабах никаких отличий от этого значения не находится! И ведь это принимается и поощряется, хотя даже сейчас, при современных возможностях, так и не нашли отличий. И начинаются объяснения того, что же нужно считать малостью, вместо того, чтобы признать истину нормальной параллельности.
Но самое замечательное, это указание Лобачевского на то, что он успешно использовал свою геометрию, которая отличается от обычной только в подходе к параллельности, в измерениях кривых линий, площадей плоских фигур, поверхностей и объемов тел и в анализе. Естественно результат был положительным. А какой он еще мог быть? Ведь все перечисленные действия предполагают использование бесконечно малых интервалов, и, соответственно, бесконечно малого расстояния между параллельными линиями. А какой же угол параллельности в таком случае будет у Лобачевского? Вопрос, на мой взгляд, даже ответа не требует.
В целом, конечно, Николай Иванович проделал серьезную работу, которую можно рассматривать как разработку инструментов для работы с кривыми линиями и поверхностями. И тогда угол параллельности будет просто углом, при котором радиусы кривизны исследуемой линии или поверхности уже не встречаются друг с другом. Однако и в этом случае необходимо будет признать прямолинейность радиусов и сохранение угла параллельности, что противоречит логике геометрии Лобачевского, которая в свою очередь сама совершенно не логична.
Но, пожалуй, самое поразительное в том, что такие идеи и теории находят широкую поддержку. Более того, становятся критерием соответствия принадлежности к ученому сословию, и начинают определять реальность. Неужели истерия по поводу нерешенности проблем, появляющихся исключительно в результате совершенствования математических инструментов, настолько застилает разум, что заставляет искать выход в любых отклонениях от нормальности, создающих видимость решения. И ладно если бы этим все и ограничивалось, нашли более-менее приемлемое решение снимающее остроту истерики, но нет, начинается приведение реальности в соответствие этим отклонениям. Что произошло и с геометрией Лобачевского. Восторг, от якобы найденного им, «решения» «проблемы параллельности», стал настолько велик, что привел к тому, что наше реальное пространство стали считать пространством Лобачевского (замечу, что это лишь один из вариантов), имеющим гиперболическую кривизну.
Справедливости ради, необходимо отметить, что не только Лобачевский искривил пространство, и до него и после к этому приложил усилия не один ученый.
Всем им присущ один характерный признак - отождествление пространства и поверхности, что конечно же не противоречит математическим представлениям, но неизбежно приводит к переносу свойств кривых поверхностей на реальное пространство и его глобальной непрямолинейности. А отсутствию явной наблюдаемости последней всегда находится какое-либо объяснение. В случае Лобачевского это малость ***треугольников, стороны которых доступны нашим измерениям***.
Нет, я не против разработки и совершенствования математических инструментов, упрощающих расчеты на пути к прогрессу. Однако не следует каждый раз, при удачной попытке, особенно решающей исключительно проблемы, порождаемые самим процессом развития инструментов, менять представление об объекте, который предполагается описывать с помощью этих инструментов – объективной реальности. И уж совершенно не стоит восторженно принимать за реальность порождения попыток, в основе которых лежат любые ненормальности, явно противоречащие банальной логике. В противном случае очень велик риск невозврата в реальность из различных воображариумов.