Физика, как наука, описывает законы природы через математические уравнения. Однако, помимо самих законов, интерес представляет и структура этих уравнений. Недавнее исследование, посвящённое анализу статистических закономерностей в физических формулах, выявило удивительные паттерны, которые могут указывать на существование мета-закона природы — вероятностного правила, регулирующего структуру физических законов. Это открытие не только углубляет наше понимание физики, но и может быть полезно для развития методов искусственного интеллекта, таких как символьная регрессия.
Закон Ципфа и его аналоги в физике
Закон Ципфа, известный в лингвистике, утверждает, что частота любого слова в большом корпусе текста обратно пропорциональна его рангу в таблице частот. Например, самое частое слово встречается примерно в два раза чаще, чем второе по частоте, в три раза чаще, чем третье, и так далее. Этот степенной закон наблюдается не только в лингвистике, но и в других областях, таких как распределение размеров городов или популярность веб-сайтов.
Исследователи задались вопросом: существует ли аналогичная закономерность в уравнениях физики? Для ответа на этот вопрос были проанализированы три корпуса физических формул:
- "Лекции по физике" Фейнмана — классический учебник, охватывающий широкий спектр физических теорий.
- Список научных уравнений, названных в честь людей, из Википедии — коллекция известных уравнений, используемых в различных областях физики.
- "Encyclopaedia Inflationaris" — обзор инфляционной космологии, содержащий специализированные уравнения.
Типы операторов в физических уравнениях
В физических уравнениях используются различные типы операторов, которые можно разделить на три категории:
- Нульарные операторы: переменные (например, 𝑥), числовые факторы (например, 𝑎a) и константы (например, 𝐺, 𝑐, 𝜋).
- Унарные операторы: абсолютное значение (𝑎𝑏𝑠), экспонента (𝑒𝑥𝑝), логарифм (𝑙𝑜𝑔), отрицание (𝑛𝑒𝑔), квадратный корень (𝑠𝑞𝑟𝑡), а также тригонометрические функции (𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠, 𝑡𝑎𝑛) и их обратные функции.
- Бинарные операторы: умножение (𝑚𝑢𝑙𝑡), деление (𝑑𝑖𝑣), сложение (𝑎𝑑𝑑), вычитание (𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡) и возведение в степень (𝑝𝑜𝑤).
Экспоненциальный закон распределения операторов
Исследование показало, что частота операторов в физических уравнениях подчиняется не степенному закону Ципфа, а экспоненциальному закону. Это означает, что частота оператора 𝑓(𝑟) уменьшается экспоненциально с увеличением его ранга 𝑟r:
𝑓(𝑟)∼exp(−𝛽𝑟),
где 𝛽 — показатель крутизны распределения. Для корпусов из лекций Фейнмана и Википедии значение 𝛽 составило около 0.34, а для "Encyclopaedia Inflationaris" — около 0.24.
Этот экспоненциальный закон указывает на то, что в физических уравнениях существует предпочтение для определённых операторов. Например, переменные, умножение и деление встречаются гораздо чаще, чем более сложные операторы, такие как тригонометрические функции или возведение в степень с большими показателями.
Отличие от закона Ципфа
Основное различие между законом Ципфа и наблюдаемой закономерностью в физических уравнениях заключается в математической форме распределения:
- Закон Ципфа: степенной закон 𝑓(𝑟)∼1/𝑟𝛼, где 𝛼≈1. Частота убывает медленно, обратно пропорционально рангу.
- Экспоненциальный закон: 𝑓(𝑟)∼exp(−𝛽𝑟). Частота убывает быстрее, экспоненциально с увеличением ранга.
Это различие указывает на то, что физические уравнения имеют более строгую структуру, чем случайные тексты или другие системы, подчиняющиеся закону Ципфа.
Мета-закон природы?
Наблюдаемая экспоненциальная закономерность может указывать на существование мета-закона природы — вероятностного правила, которое регулирует структуру физических законов. Этот мета-закон может объяснить, почему определённые операторы и структуры уравнений встречаются чаще других. Например, простота и универсальность операторов умножения и деления делают их более предпочтительными в физических формулах.
Применение результатов
- Понимание статистических закономерностей в физических уравнениях может улучшить методы символьной регрессии, позволяя алгоритмам эффективнее находить подходящие математические выражения для описания данных.
- Эти закономерности могут быть использованы для создания моделей, способных генерировать новые физические уравнения, что особенно полезно в областях, где теоретические основы ещё не полностью установлены.
- Выявленная закономерность может служить индикатором физической правдоподобности математической модели. Если распределение операторов в модели сильно отклоняется от экспоненциального закона, это может указывать на её искусственность или несоответствие реальным физическим законам.
Интересно, что распределение операторов в формуле Планка для спектральной плотности энергии излучения абсолютно черного тела также соответствует выявленному экспоненциальному закону. Это подтверждает универсальность наблюдаемой закономерности.
Исследование статистических закономерностей в уравнениях физики открывает новые горизонты для понимания структуры физических законов. Обнаружение экспоненциального закона распределения операторов может указывать на существование мета-закона природы, который регулирует не только сами законы, но и их математическую форму.
-----------------ПОДДЕРЖАТЬ АВТОРА ДОНАТОМ -------------------
- Много интересного - в телеграм "Математика не для всех"
- Взгляд на философию со стороны технаря - телеграм "Философия не для всех"