Приветствую Вас!
Найти значение производной в точке касания. Давайте посмотрим что это такое, почему так происходит и как найти.
наклон прямой
Для начала разберем саму прямую, ведь именно она, по итогу, будет являться касательной. Прямая может находиться в некоторых положениях относительно оси ох. Рассмотрим:
Обратите внимание, что угол наклона прямой рассматривается именно относительно оси икс. Грубо говоря, (не берем пока в учет картинки 3 и 4), наклон может быть влево, либо в право. Если вправо ( право у нас всегда "+", лево - "-"), то угол наклона положительный, влево - отрицательный.
Сама прямая, как известно, имеет формулу: у=кх+в. В зависимости от того, как будет меняться к, так будет меняться и наклон прямой. Например:
Заметим, чем больше к, тем больше угол наклона. При к<0 наоборот.
вычисление к
Как же по графику вычислить к? На самом деле, к можно посчитать благодаря тангенсу. Для этого снизу, под прямой, нужно достроить прямоугольный треугольник, да так, чтобы была возможность высчитать катеты точно по клеточкам, в целых числах. А значит, построение нужно начинать с "узелка клетки". Место "узелков" не имеет значения. Проверим:
Начертим прямую у=2х-3. Здесь к=2. Просчитаем тангенс. В первом треугольнике видно: к=tg(a)=4/2=2, во втором - к=tg(a)=8/4=2, в третьем - к=tg(a)=12/6=2. Вывод: где будут располагаться катеты - значения не имеет. Главное, начинать построение с "узелков клетки". Никаких "приблизительно" быть не должно!
Если прямая проходит под тупым углом к оси икс (наклонена влево), то, чтобы вычислить к (тангенс угла), нужно высчитать тангенс смежного угла с искомым и поставить знак "-", т.к тангенс тупого угла отрицателен, но само значение имеет то же, что и смежный с ним острый угол.
Также достроим до прямоугольного треугольника. Достраиваем всегда снизу, под прямой, чтобы не было путаницы:
Итак, чтобы узнать чему равен tg(a), нужно вычислить tg(b) и поставить знак "-". Tg(b)=9/3=3, следовательно, tg(a)=-3.
вычисление производной
Вернемся к производной. Чтобы найти значение производной в какой-либо точке графика, надо провести касательную к этой точке и вычислить тангенс угла ее наклона. И всё. Например:
Проанализируем то, что видим: прямая наклонена влево, значит, угол наклона тупой, следовательно, тангенс будет отрицателен и нам нужно высчитать тангенс смежного угла. Порисуем:
Считаем: tg(b)=3/6=0,5 => tg(a)=-0,5
Обратите внимание, что в саму точку касания ничего достраивать не нужно. Ведь нас интересует производная в этой точке, а это, ни что иное, как тангенс угла наклона касательной.
Если касательная параллельна оси икс (рис. 3), то при наложении она будет совпадать с самой осью, следовательно, угол будет равен ноль градусов, как и сам тангенс.
Если касательная имеет с осью икс угол в 90 градусов (рис.4), то ее уравнение будет иметь вид: х=а и она решает немного другие задачи, не относящиеся к данной теме.
Собственно всё.
Благодарю за внимание..