Условие
На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета
Решение
Сначала может показаться, что вариантов очень много.
Но фактически надо рассмотреть всего 3 варианта:
- (2 красных блюдца) и (2 красных чашки)
- (1 красное блюдце, 1 синее блюдце) и (1 красная чашка, 1 синяя чашка)
- (2 синих блюдца) и (2 синих чашки)
Другими словами, событие «можно составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета» можно представить как сумму трех событий:
- можно составить две красные чайные пары (блюдце-чашка)
- можно составить одну красную чайную пару (блюдце-чашка) и одну синюю чайную пару (блюдце-чашка)
- можно составить две синие чайные пары (блюдце-чашка)
Получаем такую схему случаев:
При этом важно, что 1 красное, 1 синее блюдце можно выбрать двумя способами: (первое блюдце красное и второе блюдце синее) или (первое блюдце синее и второе блюдце красное), т.е. это можно сделать в разном порядке.
Также и с выбором чашек (1 красная чашка и 1 синяя чашка)
Выбор предметов с одной полки являются зависимыми событиями
Например, вероятность выбрать первое красное блюдце равна 16/25, а после этого вероятность выбрать второе красное блюдце – уже 15/24 (т.к. после выбора первого блюдца всего осталось 24 блюдца и среди них осталось 15 красных)
Выбор чашек не зависит от выбора блюдец, поэтому для них рассуждения начинаем сначала: вероятность выбрать первую красную чашку 13/25, а после этого вероятность выбрать вторую красную чашку – уже 12/24:
Аналогично находим вероятность выбрать 2 синих блюдца и 2 синих чашки:
Сложнее найти вероятность составить одну красную чайную пару (блюдце-чашка) и одну синюю чайную пару (блюдце-чашка), потому что необходимо учитывать, что разноцветные предметы могут быть выбраны в разном порядке.
При этом отдельно (независимо друг от друга) находим вероятность события «выбрать 1 красное блюдце, 1 синее блюдце» и вероятность события «выбрать 1 красную чашку, 1 синюю чашку»
Легко заметить, что слагаемые в каждой скобке одинаковые, меняется только порядок множителей в числителях. Поэтому скобки переписали, заменив сложение умножением на 2
Далее важно рационально провести выкладки.
По теореме сложения вероятностей необходимо найти сумму записанных произведений:
В таких выражениях не надо торопиться сокращать дроби. Сейчас все слагаемые имеют одинаковые знаменатели. Чтобы знаменатели оставить одинаковыми, сокращать дроби в каждом слагаемом будем на одно и то же число. Убеждаемся, что сократить каждое слагаемое можно на 12 и на 8:
Теперь можно сложить дроби (счет стал существенно проще, чем до сокращения), но можно заметить, что все дроби еще сокращаются на 3 (знаменатели останутся одинаковыми):
Ответ: 0,38
Выкладки описаны подробно, потому что они отражают общие принципы вычисления вероятностей с выбором разноцветных предметов. В классическом варианте - выбором шаров разного цвета из урны.
Ошибка возможна при вычислении вероятности составить одну красную чайную пару (блюдце-чашка) и одну синюю чайную пару (блюдце-чашка)
Получается вероятность в два раза меньше, т.к. рассмотрены только случаи одинаковой последовательности появления блюдец и чашек одного цвета
Правильная и полная схема случаев выглядит так:
В приведенных выше выкладках мы немного сократили число вариантов, рассматривая выбор блюдец и выбор чашек – независимо
Дополнительное задание
Задание 5. Вариант 11. Ященко И.В. 2025
На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 33 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета
Ответ: 0,29
Подписывайтесь на телеграмм канал: https://t.me/sinpixdv