Как решать задачи из ОГЭ на тему "Функции и их свойства. Графики функций (гиперболы, параболы, кусочно-непрерывные функции)"?

Давайте разберем тему "Функции и их свойства. Графики функций" подробно и по шагам. Я объясню, как решать задачи из ОГЭ, на примерах, чтобы было понятно.

Основные понятия о функциях

Функция — это зависимость одной переменной (обычно y) от другой переменной (обычно x). Например, y=2x+3 — это линейная функция.

Свойства функций:

Область определения — это все значения x

, которые можно подставить в функцию.

Область значений — это все значения y

, которые может принимать функция.

Возрастание и убывание — смотрим, увеличивается или уменьшается y при увеличении x.

Четность и нечетность — проверяем, симметрична ли функция относительно оси y

 или начала координат.

Графики функций

В ОГЭ часто встречаются графики следующих функций:

1. Линейная функция (y=kx+b).

2. Квадратичная функция (парабола) (y=ax^2+bx+c).

3. Обратная пропорциональность (гипербола) (y=k/x).

4. Кусочно-заданные функции (график состоит из нескольких частей).

Пример 1. Квадратичная функция (парабола)

Постройте график функции y=x^2−4x+3

 и определите вершину параболы.

Решение:

1. Определяем вид функции.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при x^2 (a=1

) положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Находим координаты вершины.

Формула для x-координаты вершины:

x вершина=−b/2a.

Здесь a=1, b=−4. Подставляем:

x вершина=−(−4)/2⋅1=2.

Теперь подставляем x=2 в уравнение функции, чтобы найти y:

y=2^2−4⋅2+3=4−8+3=−1.

Вершина параболы: (2,−1).

3. Строим таблицу значений.

Подставляем несколько значений x

 в функцию, чтобы найти точки:

x=0, y=0^2−4⋅0+3=3.

x=1, y=1^2−4⋅1+3=0.

x=3, y=3^2−4⋅3+3=0.

x=4, y=4^2−4⋅4+3=3.

Строим график.

Отмечаем точки из таблицы на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Не забываем, что парабола симметрична относительно оси, проходящей через вершину (x=2).

Пример 2. Обратная пропорциональность (гипербола)

Постройте график функции 

y=6/x и определите область определения.

Решение:

1. Определяем вид функции.

Это функция обратной пропорциональности. График — гипербола, состоящая из двух ветвей.

2. Находим область определения.

В знаменателе x не может быть равен нулю (x≠0). Значит, область определения: x∈(−∞;0)∪(0;+∞).

3. Строим таблицу значений.

Подставляем значения x, чтобы найти y:

x=1, y=6/1=6.

x=2, y=6/2=3.

x=−1, y=6/(−1)=−6.

x=−2, y=6/(−2)=−3.

4. Строим график.

Отмечаем точки на координатной плоскости. График состоит из двух ветвей: одна в первой четверти, другая в третьей. Гипербола приближается к осям, но никогда их не пересекает.

Пример 3. Кусочно-заданная функция

Постройте график функции:

x+2, x≤0,

и

−x+2, x>0.

Решение:

1. Разбираем функцию по частям.

Если x≤0, то y=x+2 (это прямая с углом наклона 1).

Если x>0, то y=−x+2 (это прямая с углом наклона -1).

2. Строим таблицу значений.

Для x≤0 (y=x+2):

x=−2, y=−2+2=0.

x=−1, y=−1+2=1.

x=0, y=0+2=2.

Для x>0 (y=−x+2):

x=1, y=−1+2=1.

x=2, y=−2+2=0.

3. Строим график.

Для x≤0 рисуем прямую y=x+2.

Для x>0 рисуем прямую y=−x+2.

В точке x=0 график непрерывен (y=2).

Советы для решения задач:

1. Всегда определяйте вид функции (линейная, квадратичная, гипербола и т.д.).

2. Найдите область определения функции.

3. Постройте таблицу значений для нескольких точек.

4. Учитывайте свойства функции (симметрия, возрастание/убывание).

5. Аккуратно стройте график на координатной плоскости.