Простое показательное неравенство из второй части профильного ЕГЭ по математике.
Если говорить о второй части, то, безусловно, 13 (уравнение) и 15 (неравенство), пожалуй, самые простые в решении. Халява, которая позволяет за несколько минут на экзамене заработать баллы.
Итак. Вот такое неравенство. Которое, конечно же, решаем методом интервалов. Чем он прост? Есть чёткий алгоритм того, как решать:
1. Находим нули числителя и знаменателя (т.е. точки, в которых числитель и знаменатель обращается в ноль).
2. Отмечаем эти точки на числовой прямой (помня про то, что нули знаменателя никогда не могут входить в решение, а нули числителя - в зависимости от того, строгое или нестрогое неравенство) - получаем определённое количество интервалов.
3. Находим знаки выражения на каждом интервале, выбираем те, которые нам нужны.
А в чём вообще заключается метод интервалов? Мы находим потенциальные точки, в которых происходит смена знака. Почему потенциальная? Потому что, смена знака может произойти, а может не произойти.
1. Приравняем числитель и знаменатель к нулю. Начнём с чего попроще, со знаменателя:
Получили 2 точки. Обращаю внимание, что очень удобно разложить на множители наш квадратный трёхчлен - знаки интервалов будет проще формировать. То есть:
Приравняем теперь знаменатель к нулю. И вот здесь может возникнуть вопрос: а как решить это показательное уравнение? Пользуемся одним из простых принципов решения показательных (да и логарифмических) уравнений/неравенств: чем меньше оснований - тем лучше. Потому раскладываем 10 на произведение 2 и 5. Имеем:
Как рассуждать должен мозг, если он первый раз видит нечто подобное? У нас разные основания, 2 и 5, и они никак далее не раскладываются, являются взаимно простыми. А представим наше уравнение в другом, более привычном виде, введя замену, дабы избавить свой взор от ненавистных степеней:
Тогда наше уравнение приобретает приятный и привычный вид. И, глядя на коэффециенты при переменных, мозг понимает - это группировка.
Получили вид уравнения, любимого для всех математиков: произведение двух сомножителей. Оно равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Имеем, получив значения новых переменных и возвратившись к исходному неизвестному:
Это если очень подробно расписать, а по хорошему, видя это показательное уравнение - можно сразу его решить, если имеется хоть малейший опыт решения показательных уравнений (обратите внимание на разложение в виде множителей - удобно, когда начинаем работать с интервалами):
Нули знаменателя нами найдены. Начинается самое интересное.
2. Отмечем все наши точки на координатной прямой. Но перед этим запишем наше неравенство, представив числитель и знаменатель в виде разложения на множители:
Расставляем нули числителя и знаменателя на координатной прямой, замечаем, что точка 1 присутствует и там и там, находим знаки на каждом интервале. И вот тут я всегда говорю: если вы не особо понимаете, то, как работает механика формирования знаков на этих интервалах: потратьте лишние полминуты, подставьте числа из каждого интервала, чтобы получить знаки. Ещё раз: мы нашли потенциальные точки, в которых происходит смена знака - нули числителя и знаменателя. Для того, чтобы функция/выражение сменили знак - им необходимо пройти через ноль, ибо именно ноль является рубежом и границей между положительными значениями и отрицательными. Это значит, что выражение если и поменяет знак - то только в этих точках, и больше нигде. Следовательно, что данные точки разбили нашу прямую на промежутки гарантированного знакопостоянства. Расставляем знаки наших интервалов:
Неравенство нестрогое. Это значит, что оно будет выполнятся, если выражение равно нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен. Это только точка 2. В точке 1 числитель хоть и равен нулю, но также и знаменатель принимает нулевое значение. Подставляем точки из интервалов - получаем знаки. С учётом того, что наше неравенство больше либо равно нулю получаем решением третий интервал. Ответ:
Собственно всё. Теперь решение без моей болтовни:
Посмотрим для порядка, как выглядит график функции, заданной нашим выражением:
Пусть у Вас не создаётся ложное впечатление, что после точки 2 функция всегда положительна. Неть. На третьем скрине это видно, правда для этого придётся уйти далеко в отрицательные значения.
Сложно или нет для второй части - судить Вам)