На множестве натуральных чисел факториал числа n определяется следующим образом. Это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
В частности, произведение (n-1)(n-2)...1 является факториалом числа n-1. Тогда для факториала верно вот такое рекуррентное соотношение:
Что же касается нуля, то его факториал равен единице. Просто так договорились и всё!
На этом можно было бы закончить эту статью, но я бы хотел продемонстрировать, что такая договорённость не приводит к противоречиям. Ну действительно, чему равен факториал единицы согласно представленной рекуррентной формуле? Он равен вот этому:
Итак, получается, что 0! = 1, как мы и договорились. Можно пойти ещё дальше и вспомнить, что понятие факториала можно расширить за рамки натуральных чисел, используя так называемую гамма-функцию:
Тогда для натуральных n будет верно вот такое равенство:
Посчитаем теперь значение гамма-функции при n равном 1:
Итак, получили, что значение этого интеграла равняется единице. Опять же, всё как мы и договаривались. То есть противоречий нет.
На этом сегодня всё. Всего доброго!