Рассмотрим следующую последовательность чисел:
То есть это последовательность 1/n, где n – натуральное число. Если n будет стремиться к бесконечности, то эта последовательность стремится к нулю. И это абсолютно понятно, ведь с ростом n мы делим единицу на всё большее число, поэтому результат становится всё меньше и всё ближе приближается к нулю. А теперь давайте рассмотрим сумму всех чисел этой последовательности:
Такой ряд называется гармоническим. И возникает интересный вопрос. В этом ряду мы каждый раз прибавляем всё меньшее число, то есть сумма каждый раз возрастает на всё меньшее и меньшее значение. И поэтому может появиться интуитивное ощущение, что эта сумма стремится к какому-то не очень большому числу, но никогда не может его достигнуть, поскольку мы добавляем каждый раз всё меньше и меньше. Ну, к примеру, это может быть число 2 или чуть побольше. Скажем, 10. Однако, правда состоит в том, что никакого ограничения нет. Начиная с какого-то члена эта сумма будет больше ста, начиная с какого-то другого - больше миллиона, триллиона, и вообще эта сумма стремится к бесконечности или, выражаясь математическим языком, – расходится. Это как раз тот случай, когда интуиция и житейская логика нас подводит. И факт того, что этот ряд расходится, очень легко доказать. Давайте это сделаем.
Запишем несколько первых членов этого ряда:
Заменим теперь некоторые из этих членов новыми, так чтобы итоговая сумма уменьшилась. А именно: первые два члена оставим без изменений. Следующие два заменим на дроби единица, делённая на два в квадрате, то есть одна четвёртая. Следующие два в квадрате, то есть четыре члена, заменим на дроби единица, делённая на два в кубе, то есть одна восьмая. Следующие два в кубе, то есть восемь членов, заменим на дроби единица, делённая на два в четвёртой степени, то есть одна шестнадцатая. И так далее:
Понятно, что итоговая сумма станет меньше, поскольку каждый член исходной суммы мы заменяли на меньший. Но в каждой из полученных групп сумма членов будет равна одной второй. Действительно, для красной группы эта сумма будет равна единица, делённая на два во второй, умножить на два в первой, то есть одна вторая. Для зелёной группы она будет равна единица, делённая на два в третей, умножить на два во второй, то есть опять одна вторая. И так далее. Для любой k-ой группы сумма его членов будет равна единица, делённая на два в степени k+1, умножить на два в степени k, то есть одна вторая:
Но такой ряд неограниченно возрастает, так как у нас получилась сумма бесконечного количества дробей 1/2. Значит, он расходится. Ну а наш исходный ряд больше данного, значит он тоже расходится. Что и требовалось доказать.
Вот такое доказательство. Так что не всегда, то, что мы считаем очевидно правильным, таковым на самом деле и является.