Данный урок посвящен индуктивностям. Проще всего, усвоив предыдущий урок о конденсаторах, перенести все свое знание о конденсаторах на индуктивности с точностью до наоборот. Вместо Второго закона коммутации необходимо затвердить Первый закон коммутации, согласно которому ток через индуктивность не может измениться мгновенно (обращаем внимание - на напряжение на индуктивности закон никаких ограничений не накладывает), т.е. при каких-либо переключениях (коммутации) в схеме ток через индуктивность в первое мгновение после переключения равен току через него до переключения.
Как видно, это Второй закон с заменой напряжения на конденсаторе на ток через индуктивность. Отсюда же вытекают все свойства индуктивности, и даже перемена в выражении для ее реактивного сопротивления числителя и знаменателя местами.
Понимание этого основного отличия облегчит изучение материала урока, внесет определенную системность в объем знаний.
Конструкции катушек индуктивности
В отличие от конденсаторов (а также резисторов), являющихся стандартными компонентами радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), индуктивности стандартными компонентами не являются - они изготавливаются "к месту", исходя из заранее заданных требований.
Если основной характеристикой электрического конденсатора является его электрическая емкость, то основной характеристикой катушки индуктивности (или просто индуктивности) является ее коэффициент самоиндукции (называемый также просто индуктивностью).
Конденсатор хранит электрический заряд, и между обкладками заряженного конденсатора возникает электрическое поле. Катушка "хранит" магнитный поток, если по ней протекает электрический ток, и создает в окружающем пространстве магнитное поле.
Индуктивность катушки L и является коэффициентом пропорциональности между током в катушке I и создаваемым ею магнитным потоком Ф.
Единица индуктивности называется генри (Гн), ниже кратные к ней единицы:
- 1 микрогенри (мкГн) = 0,000001 Гн = 0,001 мГн
- 1 миллигенри (мГн) = 0,001 Гн = 1000 мкГн.
Отсюда 1 Гн = 1.000 мГн = 1.000.000 мкГн.
Убедиться в наличии магнитного поля можно по его действию - отклонению магнитной стрелки в магнитном поле.
В предыдущем уроке мы рассмотрели формулу емкости конденсатора - ею приходится пользоваться редко, поскольку конденсатор - стандартный компонент электрических схем и производится в необходимом ассортименте согласно рядам емкостей Е6, Е12, Е24 и пр.
А вот конструктивные размеры катушек индуктивности и требуемое число витков конструкторы РЭА вынуждены рассчитывать самостоятельно по требуемой величине индуктивности (которая выбирается равной расчетной, без привязки к рядам номинальных значений) и назначению катушек.
Расчет индуктивностей катушек простой формы
Самая простая катушка индуктивности - - одновитковая. Подобные применяются на сантиметровом диапазоне электромагнитных волн.
Выражения для индуктивности катушек, в отличие от емкости конденсаторов, невероятно сложны и в элементарных функциях не выражаются. Проблема в том, что электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора и его можно считать однородным, магнитное же распространено по всему пространству и его интенсивность спадает по мере удаления от катушки. Но существуют упрощенные формулы, позволяющие понять общие принципы расчета.
Индуктивность одновитковой катушки любой формы (круглой, овальной, квадратной), при условии выполнения ее из тонкого провода, приближенно равна L=0,0026·D, где D - диаметр витка в миллиметрах, индуктивность при этом выражается в мкГн.
Пример: Круглый виток диаметром 100 мм обладает индуктивностью L=0,0026·D=0,0026·100=0,26 (мкГн).
Индуктивность многовитковых катушек в самом общем случае пропорциональна квадрату количества витков. Объясним это кажущееся странным обстоятельство "на пальцах". По всем виткам многовитковой катушки с числом витков N протекает одинаковый ток, и каждый отдельный виток создает одинаковый поток. Но каждый виток создает также и магнитный поток еще во всех соседних витках, а поскольку магнитные потоки суммируются, один виток создает магнитный поток катушки, больший в N раз создаваемого этим изолированным витком. Все же N витков создают суммарный поток, пропорциональный квадрату числа витков N^2. Рассуждения выше справедливы, если витки расположены тесно, только при этом условии магнитный поток от одного витка одинаков во всех соседних витках.
Пример: намотав плотно и тесно 10 витков в катушке по примеру выше, получим катушку индуктивностью 0,26·10^2=26 (мкГн).
А теперь перейдем от идеализированной катушки, не обладающей ни высотой, ни толщиной, к реальным катушкам.
Спиральная катушка
В справочниках и на сайтах приводится множество формул, графиков для расчета индуктивности катушек, существуют и сетевые калькуляторы. Результат расчета всегда приближенный, после расчета требуется подгонка числа витков под требуемую индуктивность. Обычно рассматриваются 2 идеализации - вначале плоская катушка (спиральная), как на рисунке ниже, не обладающая высотой, но с обмоткой некоторой ширины (или "толщины".
Если принять за диаметр спиральной катушки средний диаметр
D ср = (D внешн + D внутр)/2, и подсчитать индуктивность по формуле L=0,0026·D ср·N^2, где N - число витков, рассчитанная индуктивность окажется выше фактической.
Причина в том, что в витках, расположенных на расстоянии от создающего поток витка, наведется меньший по величине поток, и суммарный поток от N витков уже не будет пропорционален квадрату числа витков. Данный эффект может быть учтен коэффициентом, зависящим от соотношения продольных и поперечных размеров катушек, например от отношения "толщины" катушки
t = (D внешн - D внутр)/2 к среднему диаметру, а именно от коэффициента
(D внешн - D внутр)/(D внешн + D внутр)
Формулы и графики зависимости степени уменьшения индуктивности в зависимости от конфигурации спиральной катушки существуют, мы сознательно не будем их приводить, причина раскроется ниже.
Цилиндрическая катушка
Ниже рисунок цилиндрической катушки, обладающей некоторой высотой, но с ничтожной толщиной (как правило, с одним слоем витков).
Здесь также, как и для спиральной катушки, расчет индуктивности по формуле
L=0,0026·D ср·N^2 дает завышенное значение, и причина та же самая - в витках, расположенных на расстоянии от создающего поток витка, наведется меньший по величине поток, и суммарный поток от N витков уже не будет пропорционален квадрату числа витков. Данный эффект может быть учтен коэффициентом, зависящим от соотношения высоты катушки к ее диаметру. Формулу мы также приводить не будем, а перейдем сразу к катушке самой общей формы, обладающей числом витков N, высотой h и толщиной t, см. рисунок ниже.
Для данной катушки индуктивность рассчитывается по формуле
L=0,0026·D ср·N^2/[1+3,1·(h+t)/D ср]
Обратим внимание, что если N=1, h=0 и t=0, формула обращается в формулу для индуктивности круглого витка. N^2 отражает квадратичное влияние числа витков на индуктивность, а [1+3,1·(h+t)/D ср] уменьшает расчетную индуктивность под влиянием размеров катушки - высоты и толщины. При этом влияние толщины и высоты примерно одинаково.
Рассчитаем в качестве примера индуктивность катушки, намотанной на каркас диаметром 20 мм (папковый охотничий патрон 12 калибра) между щечками с расстоянием между ними 30 мм (это высота катушки h) проводом диаметром 1,2 мм, число витков N=75. Толщина катушки получается равной t=6 мм, отсюда средний диаметр D ср = 20+6/2=23 (мм).
Индуктивность L=0,0026·D·N^2/[1+3,1·(h+t)/D ср] =
=0,0026·23·75^2/[1+3,1·(30+23)/30]=2.180 (мкГн)=2,18 мГн
Тороидальная катушка
Возьмем очень длинную катушку (у которой длина значительно превышает диаметр), когда можно пренебречь членом 1 в знаменателе формулы индуктивности цилиндрической катушки, пренебрегаем также толщиной катушки (t=0), и индуктивность будет вычисляться по формуле
L=0,00084·D ср^2·N^2/h
для уменьшения габаритов свернем катушку в кольцо, соединив нижний и верхний концы цилиндрической катушки. Подобная катушка называется тороидальной, и ее магнитное поле сосредоточено в основном внутри катушки.
Длина катушки h для тороидальной катушки равна длине образующей окружности тора, или h=пи·D, где D - диаметр образующей тора, пи=3,14 ..., а индуктивность
L=0,00026·D ср^2·N^2/D
при этом под D ср понимается средний диаметр витка.
В данном уроке рассматривались катушки только с воздушным сердечником. Катушки с магнитными сердечниками - тема отдельного урока 7.
Первый закон коммутации
Выражение Первого закона коммутации в электрических цепях мы приводили раньше - ток через индуктивность не может измениться мгновенно. На напряжение на индуктивности закон никаких ограничений не накладывает. Другими словами, при каких-либо переключениях (коммутации) в схеме ток через индуктивность в первое мгновение после переключения равен току через него до переключения.
Ниже схема эксперимента по пропусканию постоянного электрического тока через индуктивность.
По закону Ома в цепи должен установиться ток 1 А, но согласно Первому закону коммутации в момент замыкания ключа К ток в цепи отсутствует, и нарастает до 1 А согласно графику ниже.
Как и в случае заряда конденсатора, ток в цепи устанавливается по экспоненциальному закону на уровне 0,632 от конечного значения за время, равное постоянной времени цепи, которая равна T=L/R, или T=L/R=1/1=1 (с) в рассматриваемом случае.
Аналогично с напряжением на индуктивности. Конечное напряжение на индуктивности равно 0, но в момент замыкания цепи на индуктивности падает все напряжение, а именно 1 В в рассматриваемом случае, спадая с постоянной времени 1 с. За время, равное постоянной времени, напряжение на индуктивности падает до 0,368 от первоначального. Соответствующий график ниже.
Как и в случае с конденсатором, на практике считают, что за время 5-6 (или 3-4 при менее жестких критериях) постоянных времени все процессы в цепи завершаются.
Если замыкание цепи по рисунку выше сравнительно безопасно (начальный ток равен 0, а конечный ток ограничивается сопротивлением R), то размыкание цепи может привести к нежелательным явлениям. Согласно тому же Первому закону коммутации при мгновенном размыкании ключа К ток в цепи в первое мгновение после размыкания сохраняется на прежнем уровне (1 А в рассматриваемом случае), при этом сопротивление воздушного промежутка в разомкнутом ключе теоретически становится равным бесконечности, и к воздушному промежутку прикладывается бесконечно большое напряжение (это т.н. напряжение самоиндукции).
На практике напряжение самоиндукции достигает тысяч вольт, и в момент размыкания ключа (который может быть и полупроводниковым, см. Урок 11) возникает электрическая искра, изнашивающая контакты ключа и могущая повредить иные элементы электрической схемы.
Для исключения этого принимают специальные меры, в частности, включают параллельно любой катушке (реле, контактора) полупроводниковый диод. Принцип действия подобных схем будет рассмотрен в соответствующем уроке 9.
Реактивное сопротивление катушки индуктивности
При замыкании цепи постоянного тока с катушкой индуктивности все переходные процессы завершаются за 5-6 постоянных времени T=L/R. В цепи же переменного тока поведение индуктивности совершенно иное. Если идеальную индуктивность подключить к источнику постоянного напряжения невозможно (в цепи должен установиться бесконечно большой ток), то при подключении индуктивности L к цепи синусоидального переменного тока частотой f через некоторое время в ней устанавливается также синусоидальный переменный ток определенной силы, зависящий от напряжения и частоты переменного тока и величины индуктивности.
По величине тока I и напряжению U можно оценить т.н. реактивное сопротивление индуктивности Z=U/I. Это сопротивление оказывается равным Z=2·пи·f·L. В отличие от реактивного сопротивления конденсатора, реактивное сопротивление индуктивности не обратно пропорционально частоте и емкости, а прямо пропорционально частоте и индуктивности.
Индуктивность, как и конденсатор, не потребляет в цепи переменного тока мощность оттого, что является инерционным элементом (ток через нее по 1-му закону коммутации не может измениться мгновенно, т.е. ток отстает от напряжения на катушке на угол 90°.
Поскольку мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений напряжения и тока, средняя за период мощность равна нулю - сумма положительных мощностей равна сумме отрицательных. Включенная в сеть переменного тока индуктивность не потребляет активной электрической энергии.
Соединение катушек
При последовательном соединении катушек их индуктивности складываются, но это лишь в случае, если между катушками не существует магнитной связи (они располагаются на значительном расстоянии друг от друга).
При наличии между 2 катушками индуктивностью L1 и L2 магнитной связи общая индуктивность отличается от суммарной (L1 + L2). Причина та же самая, по которой изменение индуктивности многовитковой катушки не пропорционально числу витков или его квадрату, а следует иному закону.
Между 2 катушками, если не приняты специальные меры по устранению связи между ними, всегда существует магнитная связь - изменение тока в одной катушке вызывает появление напряжения на зажимах другой. Степень связи двух индуктивно связанных катушек называется коэффициентом индуктивной связи. Отсутствию связи соответствует равный 0 коэффициент, максимально возможной связи - коэффициент 1. На коэффициент связи может влиять несколько факторов, включая расстояние между катушками, их ориентацию и тип катушек.
Коэффициент связи между катушками индуктивности определяется как среднее геометрическое отношений, показывающих, какая часть магнитного потока самоиндукции одной катушки проходит через витки другой катушки. Так, если между 2 одинаковыми катушками установлен коэффициент связи 0,5, это означает, что каждая катушка порождает в другой половину магнитного потока, создаваемого катушкой в самой себе.
При последовательном соединении 2 катушек индуктивностью L1 и L2 их общая индуктивность составит L1 + L2 ± 2·K·√(L1·L2). Знак плюс в формулу подставляется при согласном соединении катушек, а минус при встречном.
Пример. Индуктивность одной катушки равна 10 мГн, второй 40 мГн. При коэффициенте связи между ними 0,5 и последовательном соединении общая индуктивность равна при согласном соединении [10+40+2·0,5·√(10·40)]=70 (мГн), а при встречном [(10+40-2·0,5·√(10·40)]=30 (мГн).
Формулы для оценки коэффициента связи между 2 катушками сложные, но на практике можно пользоваться упрощенными. В случае, если одна катушка меньших размеров располагается соосно внутри другой катушки с большими размерами, коэффициент связи оценивается простой интуитивно понятной формулой.
На рисунке ниже вариометр, применявшийся для настройки радиоприемников при отсутствии конденсатора переменной емкости. Настройка производилась вращением ручки настройки, менявшей взаимное расположение 2 катушек, одна из которых помещалась внутри другой.
Коэффициент связи равен k=(D2/D1)^2·H2/H1. При вырожденном случае, когда равны диаметры катушек и их высоты, т.е. одна катушка намотана непосредственно поверх другой с полным перекрытием, коэффициент связи равен 1.
Для вариометра по рисунку общая индуктивность при повороте меньшей катушки на 180° меняется от L1+L2-2·k·√(L1·L2) до L1+L2+2·k·√(L1·L2) (при меньшей общей индуктивности катушки включены встречно, а при большей согласно). При промежуточном положении меньшей катушки (оси катушек перпендикулярны) коэффициент связи мал (приближен к 0), и общая индуктивность равна L1+L2.
Катушки с магнитными сердечниками и трансформаторы будут рассмотрены в уроке 7, а в последующих уроках 4-6 будут рассмотрены пассивные фильтры НЧ, ВЧ, полосовые и режекторные фильтры на основе резисторов, конденсаторов и катушек, в частности разделительные фильтры кроссоверов для акустических систем.
Приложение
Единица измерения индуктивности генри названа в честь американского физика Джозефа Генри.
Схемотехника для начинающих