Журнал «Квант», некогда слыл пособием для начинающих академиков. Куда мне до таковых! Меня и начинающим назовешь с трудом, не говоря уж об академиках. Вот «„Квант" для младших школьников» — это можно! Беру наугад №7 1988 года, нахожу желанную страницу и читаю:
Покажите, что уравнение x⁵y = xy⁵ + 1987 не имеет решений в целых числах.
Нет проблем! Тем более, что есть подсказка, избавляющая от поиска несуществующего решения. Видимо, пощадил автор задачи младших школьников, не желая травмировать юные головы. Не буду и себя травмировать, решая легко и свободно.
Переносим xy⁵ влево и получаем в левой части двучлен x⁵y – xy⁵, который без труда разлагается на множители:
x⁵y – xy⁵ = xy (x⁴–y⁴) = xy (x²–y²)(x²+y²) = xy (x–y)(x+y)(x²+y²)
Таким образом приходим к уравнению
xy (x–y)(x+y)(x²+y²) = 1987
и остается лишь разложить на множители число 1987. Числа 2, 3, 5 явно не делители. Может на 7? — Нет не делится. На 11 можно даже не пробовать, так как 198 на 11 делится, а 1987 при делении дает 7 в остатке. Может на 13? – Снова нет! Ну если нe разделилось на такое расчудесное число, как 13 , то, вполне вероятно, у числа 1987 нет делителей кроме очевидных — единицы и самого себя, или говоря по-простому, 1987 – простое число. Смотрим в таблицу простых чисел — так и есть, число 1987 – простое!
Ну с простыми числами все просто! В левой части аж пять делителей, а в правой — как ни старайся, более двух ... нет, не получается. Ведь идет речь о решении в области целых чисел, так что среди множителей могут оказаться отрицательные, а, кроме того, никто ведь не запрещает множителям быть одинаковыми!
Итак, среди множителей левой части есть равные по абсолютной величине, то есть либо равные, либо отличающиеся только знаком. В частности, поскольку x и y содержатся среди таких множителей, числа x и y могут оказаться равными по абсолютной величине. Хотя могут ли? Ведь если x=y, то x–y=0, что обращает в нуль всю левую часть уравнения, в то время как число 1987 в правой части вряд ли захочет стать нулем; если же x=–y, то x+y=0, что также обнуляет всю левую часть.
Итак, множители x и y не могут быть равными даже по абсолютной величине, поэтому одно из них равно ±1, а другое ±1987 — и никак не иначе! Но тогда x²+y²=1+1987², что явно больше 1987, а следовательно не может быть делителем числа 1987. Полученное противоречие доказывает отсутствие целочисленных решений заданного уравнения.
Ай да я! И все-таки, кого «Квант» считает младшими школьниками? Если имеются в виду шестикассники, то с ними всё в порядке: они еще помнят, как разлагать многочлен на множители. В последующих классах вроде бы как тоже не успели забыть, и только окончив университет можно расслабиться и вычеркнуть из памяти всё математическое, чего не делают лишь профессиональные математики, или увлеченные романтики, наподобие автора сего. А если речь идет об учениках начальной школы, которым разлагать на множители не положено?
Открою следующий номер «Кванта» и посмотрю, как эту задачу предполагалось решать... 😡🤩😵😰😠. Вот это шок, который я запомню надолго! Действительно, разлагать на множители вовсе не обязательно, когда есть такая штука, как четность, понятная даже первоклассникам. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть среди x и y есть четное число. Тогда как x⁵y, так и xy⁵ содержит четный множитель и следовательно является четным. В таком случае разность x⁵y – xy⁵ является четным числом, чего не скажешь о числе 1987.
Случай 2. Пусть x и y — оба нечетны. Тогда каждое из выражений x⁵y и xy⁵ содержит только нечетные множители и следовательно является нечетным. В этом случае x⁵y – xy⁵ является разностью двух нечетных чисел, которая однако является четным числом, что снова приводит к противоречию.
Как видим, вместо выражений x⁵y и xy⁵, можно было взять нечто вроде xy² и x³y, разность которых не столь эффектно разлагается на множители. Хитрость автора задачи — в соблазне выбора далеко не оптимального решения: разложения на множители. Устоять перед таким соблазном, способeн либо учащийся начальной школы, либо среднестатистической выпускник ВУЗa, поскольку первый еще не знает, а второй уже забыл, как разлагать многочлен на множители. Как видим, слишком много знать полезно далеко не всегда.
И ещё! Вместо простого числа 1987 можно взять произвольное нечетное число, например 2025, которое, хотя и прекрасно разлагается на множители, как нельзя лучше подходит для этой задачи в наступающем году.
