Часто можно услышать, что древние египтяне были ни на что не способны и "совершенно точно" не могли построить пирамиды.
Оказывается, для этого надо уметь в сопромат, материаловедение, химию и физику... Но больше всего умиляют требования по математике. Как заявляют нам некоторые, древние египтяне якобы совсем не знали математики, даже не умели умножать числа! А, значит, вообще ничего не могли построить сложнее полуземлянки...
Неужели всё это правда? Разумеется, это не так, и сейчас мы узнаем об этом немного больше.
Арифметика
Арифметика — важнейшая часть элементарной математики. Арифметика оперирует числами и базовыми арифметическими операциями над ними (сложение, вычитание, умножение, деление). В Древнем Египте были знакомы с арифметикой, с некоторыми особенностями и ограничениями того времени.
Для удобства чтения египетских иероглифов в этом разделе рекомендуется увеличить масштаб текста.
Египетские числа
Египтяне использовали непозиционную систему счисления и записывали числа методом, похожим на римский: существовали отдельные знаки для базовых чисел (𓏺 - 1, 𓎆 - 10, 𓍢 - 100, 𓆼 - 1000, 𓂭 - 10000, 𓆐 - 100000, 𓁏 - 1000000 или просто "много"), из которых составлялась запись любого числа путём повторения нужного числа символов заданного типа. Например, 6137 = 𓇁𓍢𓎈𓐀.
Символа нуля у египтян не было. Тем не менее, есть примеры использования вместо нуля иероглифа нфр 𓄤 ("красивый, совершенный"). Собственно, нуль нужен в первую очередь для позиционных систем счисления и впервые появился у майя, индусов и вавилонян. А в культурах с непозиционными системами счисления нуль за число вообще обычно не считали, вместо этого используя термины типа "ничто", "пустота", "начало" или какие-то мнемонические знаки с аналогичным значением (например, N от латинского nihil или nulla).
Дроби
Египтяне умели записывать дроби, но только вида 1/n (число n записывалось под знаком 𓂋), ещё существовали отдельные знаки для ²⁄₃ (𓂌) и ³⁄₄ (𓂍), а также для некоторых дробей со степенями двойки в знаменателе: ¹⁄₂ (𓂁 или 𓐞), ¹⁄₄ (𓂂), ¹⁄₈ (𓂃), ¹⁄₁₆ (𓂄), ¹⁄₃₂ (𓂅), ¹⁄₆₄ (𓂆). Для произвольной дроби m/n использовалась запись в виде суммы так называемых "аликвотных" дробей (вида 1/n). Например, в папирусе Ринда присутствует запись числа 5 5⁄7 как комбинации 5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14.
Сложение
Для сложения египтяне записывали суммарное количество символов от обоих слагаемых, затем каждые 10 символов сверх десятка заменяли на 1 символ следующего разряда.
Например, при сложении 2343+1671 делается запись: (3)(9)(11)(4) 𓆾𓍪𓎎𓎇𓏽, затем 10 символов десятков (𓎆) заменяются на один символ сотен: (3)(10)(1)(4) 𓆾𓍪𓍢𓎆𓏽, затем 10 символов сотен (𓍢) заменяются на один символ тысячи: (4)(0)(1)(4) 𓆿𓎆𓏽, в результате чего получается итоговый ответ: 4014.
В целом, очень похоже на привычное нам сложение "в столбик".
Умножение
Для умножения чисел египтяне использовали метод, известный как древнеегипетское (или просто египетское) умножение, ещё его называют эфиопским, русским или крестьянским.
Суть метода состоит в том, что одно из умножаемых чисел раскладывалось в сумму степеней двойки, затем результат собирался из комбинации сложений и удвоений другого числа.
Например, 25×7 считаем через разложение 25=16+8+1, затем последовательно удваиваем 7, получая таблицу умножения 7 на степени двойки (7×1=7, 7×2=14, 7×4=28, 7×8=56, 7×16=112) и складываем нужные строки этой таблицы (16+8+1)×7=112+56+7=175.
Конечно, в этом методе нередко удобнее раскладывать по степеням двойки меньшее число. Например, в приведённом примере: (1+2+4)×25=25+50+100=175.
Древние египтяне не знали таблицы умножения, поэтому их вычисления зачастую были довольно громоздкими.
Другие операции
Вычитание делалось аналогично сложению, только в обратную сторону, также очень похоже на наше современное вычитание "в столбик".
Деление заключалось в подборе частного так, чтобы при умножении делителя на него получалось делимое. Метод очень похож на умножение, только в обратную сторону: составлялась таблица умножения делителя на степени двойки, затем подбиралась сумма степеней двойки такой, чтобы сумма соответствующих чисел составляла делимое.
Для разложения дробей на аликвотные могли использоваться готовые таблицы либо "метод красного числа" (назван так из-за того, что служебные числа в папирусе Ринда при этой операции записывались красными чернилами).
Также египтяне умели складывать дроби (фактически, через приведение к общему знаменателю) и решать простейшие линейные уравнения.
Геометрия
В Древнем Египте знали основы геометрии и умели решать различные геометрические задачи, полезные для практической деятельности.
Площадь
Египтяне знали точные формулы площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Для произвольного четырёхугольника использовалась приблизительная формула S = ((a+c)/2)×((b+d)/2), которая даёт довольно неплохую точность, если этот четырёхугольник близок к прямоугольнику.
Также египтяне считали площадь круга равной площади квадрата со стороной ⁸⁄₉ диаметра. Это соответствует значению π ≈ 4×(⁸⁄₉)² ≈ 3.1605 с погрешностью от реального значения π = 3.14159... менее 1%, что для большинства практических применений вполне достаточно. Понимания числа π как константы египтяне, судя по всему, не имели.
Объём
Египтяне умели вычислять объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамиды. Также им был известен способ вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратными основаниями: V = ⅓h(a²+ab+b²). Причём метод древних египтян для решения этой задачи был математически точным, в отличие от вавилонян, которые решали её лишь приближённо по формуле V = ½h(a²+b²). Остаётся неизвестным, каким образом египтяне смогли вывести правильную формулу.
Египетский треугольник
Египетский треугольник — это треугольник со сторонами 3:4:5, образующими пифагорову тройку, поэтому один из углов этого треугольника будет прямым. Известно, что египетские землемеры и архитекторы использовали для построения прямого угла верёвку, разделённую на 12 равных частей, из которой можно легко сложить египетский треугольник.
Тем не менее теорема Пифагора, по-видимому, была неизвестна в Древнем Египте (в отличие от Древнего Вавилона). Египтяне знали только один частный случай.
Математические папирусы
Сохранилось немало папирусов, которые позволяют узнать о математических задачах, что умели решать в Древнем Египте. Большинство найденных папирусов относятся к временам Среднего царства - эпохе наибольшего расцвета Древнеегипетского государства. Наиболее интересными из них являются два:
- Московский математический папирус (математический папирус Голенищева) - один из древнейших найденных папирусов. Содержит решения 25 задач и датируется примерно 1850 г. до н.э.
- Математический папирус Ринда (Ахмеса) - наиболее крупный по объёму из всех известных, содержит 84 задачи и датируется примерно 1550 г. до н.э. Значительная часть знаний о математике в Древнем Египте получена из исследований именно этого документа.
В Московском математическом папирусе наиболее известна задача M14, в которой, собственно, и описан ранее упомянутый способ вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратными основаниями.
Примеры задач папируса Ринда:
- Задачи R1-6. Серия однотипных задач, в которых нужно разделить 1, 2, 6, 7, 8, 9 хлебов на 10 человек. Например, 9/10=²⁄₃+¹⁄₅+¹⁄₃₀.
- Задача R24. Решить уравнение x+¹⁄₇x=19. Ответ: x=16+¹⁄₂+¹⁄₈.
- Задача R41. Вычислить объём зернохранилища диаметром 9 локтей и высотой 10 локтей. Решение: V=(d-d/9)²h=640.
- Задача R42. То же самое, что и в задаче R41, только с диаметром 10 локтей. Ответ: V=790+¹⁄₁₈+¹⁄₂₇+¹⁄₅₄+¹⁄₈₁.
- Задача R51. Треугольный участок земли имеет основание 4 хета и высоту 10 хет. Найдите его площадь. Решение: S=ah/2=4×10/2=20 (впрочем, есть некоторые основания предполагать, что в этой задаче Ахмес на самом деле описывает вычисление площади прямоугольного треугольника с катетами 4 и 10).
- Задача R56. Пирамида имеет высоту 250 локтей, а сторона основания имеет длину 360 локтей. Найдите её секед (мера угла наклона грани пирамиды) в локтях и в ладонях. Секед представляет из себя длину прилежащего катета прямоугольного треугольника с таким углом и противолежащим катетом в 1 локоть, то есть, проще говоря, котангенс угла наклона (здесь видны зачатки тригонометрии). Ответ: ¹⁄₂+¹⁄₅+¹⁄₅₀ локтя или 5+¹⁄₂₅ ладоней. В древнеегипетских единицах длины 1 локоть ("царский локоть") равен 7 ладоням, а 1 ладонь равна 4 пальцам, то есть в 1 локте 28 пальцев.
- Задача R66. 1 хекат (мера объёма, примерно 4.8 л) составляет 320 ро. На одного человека распределяется 10 хекат масла в течение года (365 дней) равными долями ежедневно. Сколько хекат и ро распределяется в день? Ответ: ¹⁄₆₄ хекат + (3+²⁄₃+¹⁄₁₀+¹⁄₂₁₉₀) ро. Задача эта интересна как первичное свидетельство того, что по тогдашним представлениям египтян в году было 365 дней.
- Задача R67. У пастуха было стадо животных, и он должен отдать часть своего стада лорду в качестве дани. Пастуху было сказано отдать две трети от одной трети своего первоначального стада в качестве дани. Пастух отдал 70 животных. Найдите размер первоначального стада пастуха. Ответ: 315.
Приведённые примеры демонстрируют, что большинство математических задач в папирусе имеют прямой практический смысл, в том числе хозяйственно-экономический. Особенно интересными в контексте вопроса строительства пирамид являются задачи на вычисление объёма и секеда пирамид.
Заключение
Математика в Древнем Египте в своём развитии во многом уступала даже уровню современной средней школы (одни только записи дробной части чисел через сумму аликвотных дробей способны вызвать депрессию у любого школьника). Но для своего времени она была по-настоящему передовой. Египтяне могли записывать довольно большие числа, понимали дроби и основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), умели решать широкий спектр полезных хозяйственно-практических задач. Так что обвинения их в глупости следует признать исключительно неуместными.
Ну а на этом пока всё. Если вам понравилась статья, подписывайтесь на наш канал, ставьте лайки и оставляйте комментарии, а также не забывайте про колокольчик, чтобы не пропустить наши новые материалы, это очень мотивирует нашу команду. Также вы можете найти нас в Телеграме и ВКонтакте, там мы публикуем мемы и короткие материалы, которые не всегда подходят для Дзена. Спасибо, что читаете нас!
Автор: Александр Зейналов