Здравствуйте! Данная статья родилась благодаря тому, что в работе я часто замечаю: половина задач решена неверно потому, что часть слов осталась не расшифрованной. Допустим, такое понятие как "расстояние". Казалось бы, это просто часть предложения. Но на самом деле под расстоянием понимается высота, под высотой перпендикуляр, а под перпендикуляром угол 90° между прямыми.
Я постаралась немного классифицировать термины и определения, а также в следующей статье будет гайд, с чего начинать решение задачи, чтобы вероятнее всего выйти на истинный путь.
Пользоваться этой статьей очень просто. Она является неким справочником, который помогает понять, какая именно информация скрывается в "дано".
Виды углов
Классификация по величине:
- Острый угол: Угол, величина которого меньше 90°.
- Прямой угол: Угол, величина которого равна 90°.
- Тупой угол: Угол, величина которого больше 90° и меньше 180°.
- Развернутый угол: Угол, величина которого равна 180°.
- Выпуклый угол: Угол, величина которого меньше 180°. Острый, прямой и тупой углы являются частными случаями выпуклых углов.
- Вогнутый угол: Угол, величина которого больше 180° и меньше 360°.
- Полный угол: Угол, величина которого равна 360°. Образуется полным оборотом луча вокруг точки.
Эта классификация фокусируется на абсолютной величине угла, то есть на его численном значении в градусах или радианах. Она определяет тип угла (острый, прямой, тупой, развернутый и т.д.) независимо от его расположения относительно других углов или геометрических объектов. Это внутренняя характеристика самого угла.
Классификация по взаимному расположению:
- Смежные углы: Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, а две другие стороны являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов всегда равна 180°.
- Вертикальные углы: Два угла, образованные при пересечении двух прямых. Вертикальные углы всегда равны друг другу.
- Внутренние односторонние, внутренние накрест лежащие, внешние односторонние, внешние накрест лежащие углы: Эти виды углов образуются при пересечении двух прямых секущей. Их свойства используются при доказательстве параллельности прямых. В частности, равенство внутренних накрест лежащих углов или внешних накрест лежащих углов — признак параллельности прямых. Сумма внутренних односторонних углов равна 180°, как и сумма внешних односторонних.
- Соответственные углы: Углы, расположенные по одну сторону от секущей и по одну сторону от пересекающихся прямых. При параллельности прямых соответственные углы равны.
Эта классификация описывает отношение угла к другим углам или геометрическим фигурам. Она определяет, как угол расположен относительно других углов (например, смежные, вертикальные, соответственные, накрест лежащие) или прямых (например, внутренние, внешние). Это внешняя характеристика угла, определяемая его положением в контексте более крупной геометрической структуры.
Другие виды углов:
Внешний угол: это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением смежной с ней стороны.
Внутренний угол: это угол, образованный двумя смежными сторонами геометрической фигуры внутри фигуры.
Сумма внутреннего и внешнего угла, которые являются смежными, всегда равна 180 градусам.
Центральный угол: это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны — это два радиуса этой окружности. Другими словами, он образован двумя радиусами, проведенными из центра окружности к двум различным точкам на окружности.
Вписанный угол: это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности (или, в частном случае, одна из сторон может быть касательной).
Виды прямых
Классификация ро взаимному расположению:
- Параллельные прямые: Две или более прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Они расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
- Пересекающиеся прямые: Две прямые, имеющие одну общую точку. Угол между пересекающимися прямыми может быть острым, прямым или тупым.
- Перпендикулярные прямые: Две прямые, пересекающиеся под прямым углом (90°).
Классификация по отношению к другим геометрическим объектам:
- Касательная: Прямая, имеющая с кривой (например, окружностью) только одну общую точку. В точке касания касательная перпендикулярна радиусу (или нормали) кривой.
- Секущая: Прямая, пересекающая кривую в двух или более точках.
- Нормаль: Прямая, перпендикулярная к касательной в данной точке кривой.
- Средняя линия: В треугольнике — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Он параллелен третьей стороне и равен её половине. В трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Он параллелен основаниям и равен их полусумме.
- Медиана: В треугольнике — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В многоугольнике, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны.
- Высота: В треугольнике — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). В других фигурах - перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.
- Биссектриса: Прямая, делящая угол пополам.
Виды плоских фигур
Треугольники:
Классификация по длине сторон:
- Равносторонний треугольник: Все три стороны равны по длине. Все углы равны 60°. Обладает осевой симметрией относительно каждой из высот (которые совпадают с медианами и биссектрисами).
- Равнобедренный треугольник: Две стороны равны по длине (боковые стороны). Углы при основании (противолежащие равным сторонам) равны. Обладает осевой симметрией относительно высоты, проведённой к основанию (которая также является медианой и биссектрисой).
- Произвольный треугольник: Все три стороны имеют различную длину. Все углы имеют различную величину. Не обладает осевой симметрией.
Классификация по величине углов:
- Остроугольный треугольник: Все три угла острые (меньше 90°).
- Прямоугольный треугольник: Один из углов прямой (равен 90°). Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. Для прямоугольных треугольников справедлива теорема Пифагора.
- Тупоугольный треугольник: Один из углов тупой (больше 90°).
Четырехугольники:
- Параллелограмм: Противоположные стороны параллельны и равны по длине. Противоположные углы равны. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Прямоугольник: Параллелограмм, у которого все углы прямые (90°). Диагонали равны по длине.
- Квадрат: Прямоугольник, у которого все стороны равны по длине. Все углы прямые (90°). Диагонали равны по длине и перпендикулярны друг другу. Обладает четырьмя осями симметрии.
- Ромб: Параллелограмм, у которого все стороны равны по длине. Противоположные углы равны. Диагонали перпендикулярны друг другу и делят углы пополам.
- Трапеция: Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны (основания).
- Равнобедренная трапеция: Боковые стороны равны по длине. Углы при каждом основании равны. Диагонали равны по длине.
- Прямоугольная трапеция: Один из углов прямой (90°).
- Произвольный четырёхугольник: Не имеет никаких особых свойств параллельности или равенства сторон. Сумма его внутренних углов равна 360°.
Окружность и ее элементы:
- Радиус: Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней.
- Диаметр: Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Равен удвоенному радиусу.
- Хорда: Отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр - наибольшая хорда окружности.
- Секущая окружности: Прямая линия, которая пересекает окружность в двух точках. Эти точки называются точками пересечения секущей и окружности. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, является хордой. (рисунок уже был ранее)
- Касательная к окружности: Прямая линия, которая имеет с окружностью одну общую точку, называемую точкой касания. В точке касания касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Это основное свойство касательной, которое часто используется при решении геометрических задач. (рисунок уже был ранее)
Прочие "угольники"
Помимо треугольников (трехсторонних многоугольников) и четырехугольников (четырехсторонних многоугольников), существует множество других видов многоугольников, классифицируемых по количеству сторон и другим свойствам:
Классификация по количеству сторон:
- Пятиугольник (пентогон): Многоугольник с пятью сторонами.
- Шестиугольник (гексагон): Многоугольник с шестью сторонами.
- Семиугольник (гептагон): Многоугольник с семью сторонами.
- Восьмиугольник (октагон): Многоугольник с восемью сторонами.
- Девятиугольник (нонагон): Многоугольник с девятью сторонами.
- Десятиугольник (декагон): Многоугольник с десятью сторонами.
- Одиннадцатиугольник (ундекагон): Многоугольник с одиннадцатью сторонами.
- Двенадцатиугольник (додекагон): Многоугольник с двенадцатью сторонами.
- n-угольник: Общее название для многоугольника с n сторонами.
Изображать мы их не будем так как встречаются они нечасто, а статью итак раздуло)))
Взаимное расположение/существование фигур:
Вписанные и описанные многоугольники:
1. Вписанный многоугольник:
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Окружность в этом случае называется описанной окружностью многоугольника.
2. Описанный многоугольник:
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Окружность в этом случае называется вписанной окружностью многоугольника.
Прямая и окружность:
- Касание: Прямая имеет с окружностью одну общую точку. В этой точке прямая перпендикулярна радиусу окружности.
- Пересечение: Прямая пересекает окружность в двух точках.
- Отсутствие касания: Прямая параллельна касательной, но расположена вне окружности.
Две окружности:
- Внешнее расположение: Окружности не имеют общих точек.
- Внутреннее расположение: Одна окружность находится внутри другой, не имея общих точек.
- Касание: Окружности имеют одну общую точку. Касание может быть внешним или внутренним.
- Пересечение: Окружности пересекаются в двух точках.
Равные фигуры:
Равные фигуры в геометрии — это фигуры, которые можно совместить наложением. Другими словами, одну фигуру можно наложить на другую так, чтобы они полностью совпали. Это означает, что равные фигуры имеют одинаковую форму и размер.
Примеры равных фигур:
- Два треугольника, у которых все три стороны равны.
- Два квадрата с одинаковой длиной стороны.
- Два круга с одинаковым радиусом.
Для доказательства равенства фигур используются различные методы, основанные на свойствах фигур и их элементов. При доказательстве равенства треугольников используются признаки равенства треугольников. Чтобы доказать, что равны квадраты, достаточно выяснить, что равна какая-то сторона. Для окружности достаточно равенства радиусов .
Подобные фигуры:
К подобным фигурам относится коэффициент подобия. Он показывает, во сколько раз линейные размеры одной подобной фигуры больше или меньше линейных размеров другой подобной фигуры.
Более конкретно:
- К линейным размерам: Коэффициент подобия — это отношение соответствующих линейных размеров (сторон, высот, радиусов, диаметров и т.д.) двух подобных фигур.
- К площади: Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия (k²).
- К объему: Объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия (k³).
Характеристики углов
В прямоугольном треугольнике:
Для углов в прямоугольном треугольнике определяются синус, косинус, тангенс, котангенс и т.д. Эти функции связывают величину угла с отношением длин сторон треугольника.
- Синус (sin α): Определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin α = a / c
- Косинус (cos α): Определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы: cos α = b / c
- Тангенс (tan α): Определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета: tan α = a / b
- Котангенс (cot α): Определяется как отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета: cot α = b / a
В произвольном треугольнике:
Тригонометрия в произвольном треугольнике позволяет вычислять неизвестные стороны и углы треугольника, зная некоторые из его элементов. В отличие от прямоугольного треугольника, где используются основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс), для произвольного треугольника используются более общие формулы. Основные из них:
1. Теорема синусов:
Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно и равно диаметру описанной окружности (2R):
2. Теорема косинусов:
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Для теорем, описанных выше полезно знать, где добыть значения синусов и косинусов для всех углов. Я пользуюсь следующими таблицами:
Таблица Брадиса для косинусов.
Теоремы и общие свойства
Здесь не будут затронуты узкие признаки и свойства отдельных фигур (такие как признаки равенства треугольников или свойства параллелограмма), речь пойдет скорее об общих свойствах и теоремах планиметрии.
- Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a² + b² = c²). Это фундаментальная теорема для вычисления длин сторон в прямоугольных треугольниках.
- Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна 180°.
- Сумма углов n-угольника: (n-2)•180°
- Теорема о внешнем угле треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух противолежащих внутренних углов.
- Взаимосвязь угла и стороны в треугольнике: напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот.
Спасибо за внимание! Увидимся в следующей части! Пишите, если что-то забыла указать:)