Как решать задачи из ОГЭ, связанные с окружностью, кругом, углами, касательными, хордами и другими элементами?

Давайте разберем тему "Планиметрия" на примере задач, которые могут встретиться на ОГЭ. Я объясню подробно, шаг за шагом, как решать задачи, связанные с окружностью, кругом, углами, касательными, хордами и другими элементами.

Пример 1. Центральные и вписанные углы.**

В окружности с центром O проведена хорда AB. Угол AOB — центральный и равен 80°. Найдите величину вписанного угла ACB

, где точка C лежит на окружности.

Решение:

У нас есть окружность, центральный угол AOB, который опирается на дугу AB, и вписанный угол ACB, который также опирается на ту же дугу AB. Нужно найти величину вписанного угла.

Формула связи центрального и вписанного углов.

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла. То есть:

∠ACB=(1/2)⋅∠AOB

Подставляем значения.

∠ACB=(1/2)⋅80°=40°

Ответ: вписанный угол ACB равен 40°.

Пример 2. Касательная и радиус.

К окружности с центром O проведена касательная AB, которая касается окружности в точке C. Радиус OC равен 5 см. Найдите расстояние от точки O до прямой AB.

Решение:

Касательная AB касается окружности в точке C. Радиус OC, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Расстояние от центра O до касательной — это длина радиуса OC.

Используем свойство касательной.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, расстояние от центра окружности до касательной равно длине радиуса.

Ответ: расстояние от точки O до прямой AB

 равно 5 см.

Пример 3. Хорда и радиус.

В окружности с центром O и радиусом R=10 см проведена хорда AB, длина которой равна 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды.

Решение:

Хорда AB делится пополам перпендикуляром, проведенным из центра окружности O

. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра OM, где M

 — середина хорды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник.

В треугольнике OMA:

OA=R=10 см (радиус окружности),

AM=AB/2=16/2=8 см (половина хорды),

OM — искомое расстояние.

Применяем теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике OMA:

OA^2=OM^2+AM^2

Подставляем известные значения:

10^2=OM^2+8^2

100=OM^2+64

OM^2=100−64=36

OM=√36=6

Ответ: расстояние от центра окружности до хорды равно 6 см.

Пример 4. Описанная окружность вокруг треугольника.

Вокруг треугольника ABC описана окружность с центром O. Найдите радиус окружности, если AB=13, BC=14, AC=15.

Решение:

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, можно найти по формуле:

R=(abc)/(4S)

где a,b,c — стороны треугольника, а S — его площадь.

Находим полупериметр треугольника.

Полупериметр:

p=(a+b+c)/2=(13+14+15)/2=21

Находим площадь треугольника (формула Герона).

S=√(p(p−a)(p−b)(p−c))

Подставляем значения:

S=√(21(21−13)(21−14)(21−15))=√(21⋅8⋅7⋅6)

S=√(21⋅336)=√7056=84

Находим радиус описанной окружности.

Подставляем в формулу:

R=(abc)/(4S)=(13⋅14⋅15)/(4⋅84)

R=2730/336=8.125

Ответ: радиус описанной окружности равен 8.125

 см.

При решении задач по планиметрии важно:

1. Внимательно читать условие и понимать, какие элементы окружности заданы.

2. Использовать свойства окружности, углов, касательных, хорд и радиусов.

3. Применять известные формулы (теорема Пифагора, формула Герона, формулы для углов и т.д.).

4. Проверять свои вычисления.