Предыдущая часть:
В предыдущей статье описано сильное повышение запаса прочности опорных костей у древних животных. Это говорит только об одном - нагрузки были намного сильнее и сила тяжести была также намного больше.
Для определения общей зависимости толщины костей от силы гравитации нам нужно обратиться к сопромату. Ведь с увеличением размера тела животного и его веса нагрузка на кости ног будут расти быстрее, чем пропорционально увеличивающаяся площадь сечения этих самых ног.
На примере кубов, если сторона одного куба втрое больше чем у другого, то площадь поверхности первого будет больше в 9, а объём больше в 27 раз. Также будет меняться и масса обьекта.
Изменяющаяся величина в математике обозначается значком "дельта"-"Δ". Таким образом, если два тела геометрически подобны, то расстояние между двумя точками на поверхности одного из них относятся к растоянию между подобными точками на другом как 1:Δ, то площади соответствующих поверхностей соотносятся как 1:Δ² , а объёмы как 1:Δ³. Так же пропорционально растет и вес, распределяющийся на конечности (Δ³).
На рисунке изображена плечевая кость млекопитающего. При каких условиях она сломается в сечении Х-Х? А если возьмем кость центрозавра из предыдущей статьи , которая при той же длине h имеет диаметр d в 2 раза больше чем у млекопитающего и относительную толщину стенок также в 2 раза больше? Общий прирост площади сечения кости будет х 2 х 2 = х4. Как увеличение площади сечения повлияет на прочность кости?
Прочность костей зависит от площади их поперечного сечения, растущая как величина в второй степени (х²) Масса животного растёт в третьей степени (х³). Таким образом, нагрузка на кости растёт быстрее, чем их прочность. А так как графики квадратного уравнения и кубической функции неизбежно пересекутся, то существует критическая точка, за которой прочности костей и силы мышц не хватит, чтобы удержать тело на ногах, если не придумывать какие - то ухищрения и "упрочнение" кости.
Предел прочности кости зависит от сил, действующих в сечении Х-Х кости (см. рисунок) Кости животных в разрезе не квадратные, а круглые, но степень подобия будет таже Δ². Согласно закону Гука, для разрыва моменты сил должны быть равны или одна из сил должна быть больше:
W х h = T х d
значит Т = (W х h) / d для млекопитающего
и Т = (W х h) /2d для динозавра
Из теории размерностей следует, что W ~ L³ , h ~ L , d ~ L.
Значит, Т ~ (L³ хL)/L = L³ для млекопитающего ( "~" знак подобия). Для динозавра получим:
Т ~ (L³ х L) /2L = L³/2
Итак, вдоль кости слона с площадью сечения А ~ L² действует сила Т ~ L³ и нагрузка на изгиб, также как и нагрузка на сжатие растёт с ростом размеров млекопитающего быстрее, чем прочность костей.
У центрозавра нагрузка на кость (W) растет значительно меньше (L³/2) за счет увеличенной в 2 раза толщины костной ткани. Но все эти величины рассмотрены при современной силе g и для современных млекопитающих, имеющих трубчатые кости. У динозавров и более древних животных полость почти отсутствовала или была заполнена дополнительной губчатой костной тканью, да и сама ширина кости была значительно больше, чем у современных. Таким образом, величина площади кости А (современного животного) заменяется на увеличенную, примерно на А х2 х 2 = А х 4
Получается, сила Т действует уже не на кость с площадью А ~ L² , а на кость с площадью [Ах4] ~ L² х 4. Но тут стоит обратить внимание, что из-за увеличенной силы тяжести g предположительно в 1,5 - 2 раза в мезозое и в 2,5 - 3 раза в период до начала расширения Земли, силы W и Т также будут выше, чем при современных условиях, что связано с увеличением веса самих животных и возрастания нагрузок на скелетную систему.
Насколько увеличиться силы W и Т в мезозое при силе тяжести равной, например, 2g ? При сегодняшних условиях на планете М(вес)= m х g, а при увеличенной в 2 раза силе тяжести g×2 будет: М(вес)= m х g х 2. Получаем двухкратный рост нагрузки на кость.
Таким образом для динозавра получим подобие вида W ~ (L³х 2)/2= L³, которое получается меньше чем Т ~ L² х 4
Решим подобия через графики функций:
Увеличение площади сечения костей современных животных (синий) не успевает за ростом нагрузки на них (красный). У древних животных такой проблемы не было (зелёный цвет).
Вывод: запас прочности, заложеный в строении костей древних животных позволял не только нивелировать большие нагрузки при высокой силе тяжести, но и позже, при уменьшении этой силы, позволил увеличивать размер животных (Юра - Мел). Ещё позже ( Кайнозой), при ещё более низкой силе тяжести доминирующие позиции заняли животные принципиально иного строения костей, сделавших упор на "грацильность" и высокую подвижность при уменьшении веса самих костей за счет уменьшения их потенциальной прочности. Маленькая сила тяжести - нет необходимости в мощном и прочном скелете.
Огромный вес крупных животных - единственный довод в пользу меньшей силы тяжести, оказывается нежизнеспособным и реальная масса (при современной силе тяжести) приближается к 40 т, что означает примерно 60 т при меловой силе тяжести. Запас прочности тканей вполне выдерживают такие нагрузки. А по закону Копа, если нет ограничений, то животные будут стремиться постоянно увеличивать свой размер.
"...Как и все материалы, кости имеют характеристики предельной прочности. У них величина предельного растяжения составляет 130, а предельного сжатия 170 (МН/м2). Если давление на кость превышает предел прочности материала кости, она ломается..." ("Математические идеи в биологии", Дж.М. Смит).
Это очень большие величины. Иногда можно встретить мнение, что запас прочности костей позволяет существовать даже 200т наземным животным.
продолжение следует.....