Как решать неравенства, системы неравенств? (задачи из ОГЭ)

Давайте разберем тему "Неравенства, системы неравенств" подробно. Мы рассмотрим линейные, квадратные и рациональные неравенства, а также системы неравенств.

Что такое неравенства?

Неравенства — это математические выражения, в которых вместо знака равенства (`=`) используются знаки сравнения:

`>` — больше,

`<` — меньше,

`≥` — больше или равно,

`≤` — меньше или равно.

Пример:

2x+3>7 — это линейное неравенство.

Наша задача — найти такие значения x, которые удовлетворяют этому неравенству.

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства — это неравенства, где переменная x входит в выражение в первой степени (без квадратов, корней и т.д.).

Пример 1.

Решим неравенство 2x+3>7.

Избавляемся от свободного числа 3 на левой стороне. Для этого вычитаем 3 из обеих частей:

2x+3−3>7−3

2x>4

Делим обе части на коэффициент при x (на 2):

x>4/2

x>2

Ответ: x>2. Это значит, что все числа, которые больше 2, являются решениями этого неравенства.

Важное правило:

Если вы умножаете или делите обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Пример 2:

Решим неравенство −3x≤9.

Делим обе части на −3. Поскольку делим на отрицательное число, знак неравенства меняется:

x≥9/(−3)

x≥(−3)

Ответ: x≥−3.

Системы линейных неравенств

Система неравенств — это несколько неравенств, которые нужно решить одновременно. Решением будет пересечение их решений.

Пример 3:

Решим систему:

x+2>5

и

2x−3≤7

Решаем первое неравенство:

x+2>5

x>3

Решаем второе неравенство:

2x−3≤7

2x≤10

x≤5

Теперь находим пересечение решений:

Первое неравенство даёт x>3.

Второе неравенство даёт x≤5.

Пересечение: 3<x≤5.

Ответ: x∈(3;5].

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства содержат переменную x во второй степени. Решение таких неравенств связано с нахождением корней квадратного уравнения и анализом знаков.

Пример 4:

Решим неравенство x^2−4x≤0.

Вынесем общий множитель:

x(x−4)≤0

Найдём корни уравнения x(x−4)=0:

x=0 и x=4

Разделим числовую прямую на интервалы:

(−∞; 0), (0; 4), (4; +∞).

Определим знак выражения x(x−4) на каждом интервале. Для этого подставляем тестовые точки:

На (−∞; 0): подставим x=−1, получим (−1)*(−1−4)>0.

На (0; 4): подставим x=2, получим 2*(2−4)<0.

На (4; +∞): подставим x=5, получим 5*(5−4)>0.

Учитываем знак неравенства (≤0):

Решение — там, где выражение x(x−4)≤0, то есть на интервале [0;4].

Ответ: x∈[0; 4].

Рациональные неравенства

Рациональные неравенства содержат дроби с переменной в знаменателе. Решение таких неравенств требует исключения значений, при которых знаменатель обращается в ноль.

Пример 5:

Решим неравенство 

(x+1)/(x−2)>0.

Найдём точки, где дробь равна нулю или не определена:

Числитель x+1=0 даёт x=−1.

Знаменатель x−2=0 даёт x=2 (точка разрыва).

Разделим числовую прямую на интервалы:

(−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞).

Определим знак дроби на каждом интервале, подставляя тестовые точки:

На (−∞; −1): подставим x=−2, знак (−)/(−)>0.

На (−1; 2): подставим x=0, знак (+)/(−)<0.

На (2; +∞): подставим x=3, знак (+)/(+)>0.

Учитываем знак неравенства (>0):

Решение — там, где дробь положительна: x∈(−∞; −1)∪(2; +∞).

Ответ: x∈(−∞; −1)∪(2; +∞).

Теперь попробуйте решить самостоятельно:

1. 3x−7≥2x+5.

2. x2−9>0.

3. x−3x+2≤0.