Задача:
Сколько существует чисел, девятеричная запись которых состоит из пяти цифр, содержит ровно один ноль, причём ни одна нечётная цифра не стоит рядом с нулём?
Решение:
Алфавит девятеричной системы счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 – девять чисел
Чётные числа: 2, 4, 6, 8 – четыре числа
Нечётные числа 1, 3, 5, 7 – четыре числа
Число пятизначное: * * * * *
Первая цифра не может быть 0, т.к. в этом случае число превратится в четырёхзначное.
1. Рассмотрим вариант, когда вторая цифра 0: * 0 * * *
Т.к. рядом с нулём не может стоять нечётное число,
Вариантов первой цифры – четыре: 2, 4, 6, 8
Вторая цифра - 0
Вариантов третьей цифры – четыре: 2, 4, 6, 8
Вариантов четвёртой цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Вариантов пятой цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Общее число вариантов для случая, когда вторая цифра ноль равно произведению:
4 х 4 х 8 х 8 = 1024
2. Рассмотрим вариант, когда третья цифра 0: * * 0 * *
Т.к. рядом с нулём не может стоять нечётное число,
Вариантов первой цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (любая цифра кроме 0)
Вариантов второй цифры – четыре: 2, 4, 6, 8 (рядом с нулём любая чётная цифра)
Третья цифра - 0
Вариантов четвёртой цифры – четыре: 2, 4, 6, 8 (рядом с нулём любая чётная цифра)
Вариантов пятой цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Общее число вариантов для случая, когда третья цифра ноль равно произведению:
8 х 4 х 4 х 8 = 1024
3. Рассмотрим вариант, когда четвёртая цифра 0: * ** 0 *
Вариантов первой цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (любая цифра кроме 0)
Вариантов второй цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (любая цифра кроме 0)
Вариантов третей цифры – четыре: 2, 4, 6, 8 (рядом с нулём любая чётная цифра)
Четвёртая цифра – 0
Вариантов пятой цифры – четыре: 2, 4, 6, 8 (рядом с нулём любая чётная цифра)
Общее число вариантов для случая, когда четвёртая цифра ноль равно произведению:
8 х 8 х 4 х 4 = 1024
4. Рассмотрим вариант, когда пятая цифра 0: * ** * 0
Вариантов первой цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (любая цифра кроме 0)
Вариантов второй цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (любая цифра кроме 0)
Вариантов третей цифры – восемь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (любая цифра кроме 0)
Вариантов четвёртой цифры – четыре: 2, 4, 6, 8 (рядом с нулём любая чётная цифра)
Пятая цифра – 0
Общее число вариантов для случая, когда пятая цифра ноль равно произведению:
8 х 8 х 8 х 4 = 2048
Общее число возможных вариантов равно сумме: 1024+1024+1024+2048=5120
Ответ: 5120