Задание
Пусть n и m — натуральные числа. Рассмотрим дробь, в числителе которой находится выражение nm+1, а в знаменателе сумма n+m:
Известно, что эта дробь равна целому числу.
а) Может ли n быть равным 2, при условии m>2?
б) Может ли m быть больше, чем n² ?
в) Какое наибольшее значение может принимать m, если n=7 ?
Рекомендую читателям попробовать решить данное задание самостоятельно перед тем, как смотреть решение ;)
Решение
Пункт а)
Предположим, что n=2. Имеем:
Число 2m является четным, так как точно делится на 2, значит, 2m+1 есть число нечетное. Так как в числителе стоит нечетное число, а дробь сократима до целого числа k, то числитель полностью делится на знаменатель, и в знаменателе тоже должно быть нечетное число. Действительно, если бы в знаменателе было бы четное число s, то числитель равнялся бы произведению k и s, которое должно быть четным.
Итак, 2+m нечетно. Значит, нечетно и m. То есть существует натуральное число a, такое, что m=2a+1. Получаем:
Так как a и k — натуральное числа, то числитель дроби должен быть положительным. Следовательно, знаменатель также должен быть больше нуля. Единственное натуральное число k, при котором выражение 2-k является положительным, это 1. Но при k=1 приходим к тому, что a=0 и m=1<2. Противоречие.
Получается, что не существует такого целого m>2, что дробь
равна целому числу.
Пункт б)
Имеем:
Выразим из этого равенства m:
Вспомним, что n, m и k — числа не меньше 1. Значит, дробь, стоящая справа и равная m, тоже больше 1. Ее числитель, очевидно, неотрицателен. Значит, знаменатель должен быть строго больше 0, а, учитывая тот факт, что n и k целые, получаем, что n-k≥1. Отсюда следует, что k≤n-1<n. Но тогда nk-1<n²-1, а также, что
Пункт в)
Пользуясь результатами пункта б), можем заключить, что
Заметим, что наибольшее возможное k равно 6 (при бОльших значениях k в знаменателе будут неположительные числа). При k=6 получим m=41. При этом, если уменьшать k, то числитель будет уменьшаться, а знаменатель увеличиваться. Тем самым, 41 — наибольшее возможное значение m.
Ответ:
а) нет
б) нет
в) 41