Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то бы едва в целом свете столько рогатого скота сыскалось»
Михаил Васильевич Ломоносов
Немного истории
Примерно в XXIII веке до н.э было известно утверждение о треугольнике со сторонами 3, 4, 5 (наименьшая пифагорова тройка). Также похожая идея встречается в древнекитайской книге V-III веков до н.э «Чжоу би суань цзин».
Теорему, которая известна нам сформулировал древнегреческий филисов Пифагор (570 - 490 до н.э).
Доказательство 1 (Иоганн Вильгельм Людвиг Мельманн)
Изобразим прямоугольный треугольник с катетами a,b и с b впишем в него окружность радиусом r (рис. 1)
Выразим площадь треугольника разными способами: через половину произведения катетов и через произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник:
r=(a+b-c)/2
Приравниваем площади треугольника:
Умножим обе части тождества на 2 и раскроем скобки:
Приводим подобные и раскрываем скобки:
Переносим ab и 1/2с^2 в правую часть уравнения, домножаем на 2 и получаем классическую формулу:
Интересный факт:
Иоганн Мельманн получил степень магистра словесности, приглашен на должность ректора Московского университета, серьезно изучал русский язык.
В начале 1895 года во время встречи Мельманна с митрополитом Платоном, первый начал отстаивать необходимость критического отношения к слову Божию, в конечном итоге это дошло до императрицы Екатерины II, был подвержен пыткам со стороны тайной канцелярии, далее сослан из России, впал в депрессию и застрелился в постоялом дворе под Кёнигсбергом.
Доказательство 2 (Гарфилд Джеймс Абрам)
Шаг 1
Изобразим прямоугольный треугольник со сторонами a, b и с. А далее изобразим такой же треугольник следующим образом:
Шаг 2
Вычислим угол изображенный на рисунке.
Обозначим один из углов верхнего треугольника за x. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, другой угол треугольника равен 90°-x.
Искомый угол образует развернутый угол с углами прямоугольных треугольников: x и 90°-x.
Вычислим искомый угол: 180°-x-(90°-x)=90°, получаем прямой угол.
Шаг 3
Достроим рисунок и получим три треугольника, а далее высчитаем площадь полученной трапеции (выделена синим цветом):
Шаг 4
Вычислим площадь трапеции, как сумма площадей трех прямоугольных треугольников:
Шаг 5
Приравниваем площади:
умножим обе части уравнения на 2:
раскроем скобки и приведем подобные:
ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА!
Интересный факт:
На момент доказательство Гарфилд не был президентом. Он вступил в должность 4 марта 1881 года и занимал чуть больше полугода.
Еще больше полезного в ТГК канале: