Разберём сегодня одну шикарную задачу по математике из отборочного тура олимпиады Покори Воробьёвы Горы, к которой я ежегодно готовлю своих учеников. Уж очень она мне понравилась. Давайте прочитаем условие.
Целой частью числа x (обозначение [x]) называют наибольшее целое, не превосходящее x. Например, [3.14] = 3, [2024] = 2024. Сколько решений имеет уравнение x^2-[x^2]=(x-[x])^2 на отрезке 1<=x<=10?
И так далее до интервала (9;10). При подборе дробной части значений x использовали то, что знаменатель дробей должен быть равен 2[x], чтобы он сократился, а числитель - целому числу от 1 до 2[x]-1. Тогда в общем виде дробные значения x, при которых 2x[x] принимает целые значения, можно записать так:
Докажем, что все они являются решениями исходного уравнения:
Тогда общее количество решений на отрезке [1;10] равно: 1+3+...+17+10 = 91. Более подробный разбор смотрите в видео на канале:
Вот такая красивая задача. Я сам, как репетитор по математике и физике, готовлю школьников к олимпиадам. Так что если вам нужна такая подготовка – обращайтесь. Мои контакты вы найдёте на сайте yourtutor.info или на моём Дзене. Желаю вам успехов в этом спорте высоких достижений!