Как решать задачи из ОГЭ на тему "Планиметрия. Нахождение геометрических величин (треугольники, четырехугольники, многоугольники)"?

Давайте разберем, как решать задачи из ОГЭ по теме "Планиметрия. Нахождение геометрических величин". 

Пример задачи.

В треугольнике ABC угол A=60°, угол B=90°, а гипотенуза AC=10. Найдите длину катетов AB и BC.

Прежде чем приступить к решению, внимательно читаем задачу и выделяем ключевые данные:

У нас есть треугольник ABC, он прямоугольный (∠B=90°).

Один из острых углов ∠A=60°.

Гипотенуза AC=10.

Задача: найти длины катетов AB и BC.

В треугольнике с углом 60° и 90°

 можно использовать свойства треугольника 30°−60°−90°:

Гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета.

Больший катет равен √3 умножить на меньший катет.

1. Определяем тип треугольника

Так как ∠A=60°, а ∠B=90°, то третий угол ∠C=30°. Это треугольник 30°−60°−90°.

Используем свойства треугольника 30°−60°−90°

Меньший катет (против угла 30°) равен половине гипотенузы:

BC=AC/2=10/2=5.

Больший катет (против угла 60°) равен √3

 умножить на меньший катет:

AB=BC⋅√3=5⋅√3=5√3

BC=5, AB=5√3.

Пример 2. Четырёхугольник

Задача. В прямоугольнике ABCD длина стороны AB=6, а диагональ AC=10. Найдите длину стороны BC.

Прямоугольник ABCD: все углы прямые.

Диагонали равны и пересекаются в точке деления пополам.

Даны: AB=6, AC=10. Нужно найти BC.

Вспоминаем теорию

В прямоугольнике диагональ делит его на два прямоугольных треугольника. В данном случае диагональ AC делит прямоугольник на два треугольника △ABC и △CDA.

В треугольнике △ABC: AB и BC — катеты,

AC — гипотенуза.

По теореме Пифагора:

AC^2=AB^2+BC^2.

Подставляем известные значения в теорему Пифагора:

10^2=6^2+BC^2.

Вычисляем:

100=36+BC^2,

BC^2=100−36=64,

BC=√64=8.

Длина стороны BC=8.

Общие рекомендации для решения задач по планиметрии:

1. Четко анализируйте условие задачи:

- Выпишите известные величины.

- Определите, что нужно найти.

2. Вспоминайте теорию:

- Теорема Пифагора.

- Свойства углов и сторон треугольников.

- Формулы для площадей и периметров фигур.

- Тригонометрические функции.

3. Решайте последовательно:

- Если задача сложная, разбейте её на этапы.

- Используйте чертежи для наглядности.

4. Проверяйте ответ:

- Подставьте найденные значения обратно в формулы.

- Убедитесь, что ответ соответствует условию задачи.