Как решать задачи на прогрессии (арифметическую и геометрическую)? Задачи из ОГЭ.

Давай разберем подробно, как решать задачи на прогрессии, чтобы всё стало понятно. Начнем с определения и затем разберем примеры.

Что такое прогрессия?

Прогрессия — это последовательность чисел, в которой есть определенное правило перехода от одного числа к следующему.

Арифметическая прогрессия (АП): разность между любыми двумя соседними членами последовательности постоянна.

Формула для n-го члена:

an=a1+(n−1)⋅d

где a1 — первый член, d — разность прогрессии.

Сумма первых n членов:

Sn=(n/2)⋅(a1+an)

Геометрическая прогрессия (ГП): отношение любого члена к предыдущему постоянно.

Формула для n-го члена:

bn=b1⋅q^(n−1)

где b1 — первый член, q — знаменатель прогрессии.

Сумма первых n членов:

Sn=b1⋅(q^n−1)/(q−1),q≠1

Задача. В арифметической прогрессии первый член равен a1=5, разность d=3. Найдите:

а) 10-й член прогрессии;

б) сумму первых 10 членов.

Решение:

а) Найдем 10-й член прогрессии по формуле:

an=a1+(n−1)⋅d

Подставляем:

a10=5+(10−1)⋅3=5+27=32

Ответ: a10=32.

б) Найдем сумму первых 10 членов:

Sn=(n/2)⋅(a1+an)

Подставляем:

S10=(10/2)⋅(5+32)=5⋅37=185

Ответ: S10=185.

Задача. В геометрической прогрессии первый член b1=2, знаменатель q=3. Найдите:

а) 5-й член прогрессии;

б) сумму первых 5 членов.

Решение:

а) Найдем 5-й член прогрессии по формуле:

bn=b1⋅q^(n−1)

Подставляем:

b5=2⋅3^(5−1)=2⋅3^4=2⋅81=162

Ответ: b5=162.

б) Найдем сумму первых 5 членов:

Sn=b1⋅(q^n−1)/(q−1),q≠1

Подставляем:

S5=2⋅(3^5−1)/(3−1)=2⋅(243−1)/2=2⋅121=242

Ответ: S5=242.

Советы для решения задач

1. Внимательно читай условие. Определи, какая прогрессия дана: арифметическая или геометрическая.

2. Запиши известные данные. Это поможет понять, какую формулу использовать.

3. Выбери нужную формулу. Для n

-го члена или для суммы.

4. Подставь числа и реши. Не забывай проверять вычисления.

Пример из ОГЭ

В арифметической прогрессии первый член равен 7, разность равна 4. Найдите сумму первых 15 членов.

Решение:

1. Запишем формулу суммы:

Sn=(n/2)⋅(a1+an)

2. Найдем 15-й член (a15):

a15=a1+(n−1)⋅d=7+(15−1)⋅4=7+56=63

3. Подставим в формулу суммы:

S15=(15/2)⋅(7+63)=(15/2)⋅70=7.5⋅70=525

Ответ: S15=525.

Теперь ты знаешь, как решать задачи на прогрессии!