Михаил Евдокимович родился 7/22 января 1919 года в селе Новый Егорлык Сальского района Ростовской области. Учился в Ново-Егорлыкской средней школе, получив 10 классов образования.
1 сентября 1937 года Михаил Евдокимович поступает в Чкаловское зенитно-артиллерийское училище, после окончания которого становится командиром взвода зенитно-артиллерийского дивизиона. С началом Великой Отечественной войны он зачисляется в Краснодарское военное авиационное училище, а в 1942 году заканчивает Ульяновскую военную авиационную школу летчиков.
В 1943 г. Михаил Евдокимович прошёл курсы командиров звеньев, и до сентября 1943 года он охранял воздушное пространство СССР на границах Дальнего Востока. В сентябре 1943 года был переведен в действующую армию в 402-й истребительный авиаполк. Михаил Евдокимович сражался на самолётах Яковлева – «Як-1»; «Як-9»; «Як-3». Боевой счёт молодой пилот открыл довольно быстро, уничтожая вражеские самолёты один за другим.
Свою первую награду Михаил Евдокимович получил 11 февраля 1944 года. В воздушных боях с немецкими оккупантами Пивоваров М.Е. показал себя, как стойкий защитник родины, грамотный летчик-истребитель, смелый и мужественный воздушный противник. За время боевых действий на 4-м Украинском фронте с 1 сентября 1943 года до 27 января 1944 года совершил 33 боевых вылета и провёл 3 воздушных боя. За весь период боевых действий, выполняя задание как ведомый пары, «стойко и самопожертвенно» прикрывал ведущего пары, в результате чего его ведущий сбил 4 самолёта неприятеля. Командир 402 истребительного авиационного полка, майор Еремин в наградном листе от 27.01.1944 года отзывался о Михаиле Евдокимовиче так: «...летает смело и уверенно, воздушный бой ведёт тактически грамотно. Самолётом Як-1 владеет в совершенстве, ориентируется хорошо. Потерь ориентировки не имеет, дисциплинирован, делу партии Ленина-Сталина и социалистической родине предан». За проявленную самоотверженность Михаил Евдокимович был представлен к ордену Красной Звезды.
С 27.01.1944 по 15.03.1944 гг. Михаил Евдокимович совершил 25 боевых вылета и провёл 8 воздушных боёв, в которых лично сбил 5 самолётов противника. Совершал несколько боевых вылетов за один день. Перехватывал вражеские бомбардировщики, вступая в бой с противником, зачастую превосходящим в силе. За воинскую доблесть и мужество Михаил Евдокимович был представлен к ордену Красного Знамени 29 апреля 1944г.
Всего за годы Великой Отечественной войны М.Е. Пивоваров совершил более 350 боевых вылетов. Провёл около 80 воздушных боёв. Лично и в группе сбил 40 вражеских самолётов. За что был представлен к наградам: орден Красной Звезды (от 11.02.1944 г.), тремя орденами Красного Знамени (29.04.1944 г., 08.08.1944 г., 12.08.1945 г.), орденом Александра Невского (от 30.04.1945 г.), медалями «За боевые заслуги» (от 06.11.1947 г.) и «За взятие Берлина».
После войны указом Президиума Верховного Совета СССР от 15.05.1946 г. за героизм, мужество и отвагу, проявленную в борьбе с немецкими оккупантами, за 21 лично сбитый самолёт противника, за 269 успешных боевых вылета и за успешные штурмовые действия Михаил Евдокимович был представлен к званию «Герой Советского Союза».
После войны Михаил Евдокимович не оставил военную службу. Он служил командиром эскадрильи в составе военно-воздушных сил, располагавшихся в Германии. В 1948 году Михаил Евдокимович окончил высшие лётно-тактические курсы в Липецке. После обучения он был назначен заместителем командира 150-го гвардейского истребительного авиационного полка, располагавшегося в г. Чирик Узбекской ССР.
15 мая 1949 года Михаил Евдокимович Пивоваров погиб. Именем героя названа одна из улиц в г. Сальске, а также в его честь установлена памятная стела с барельефом, в Сальске, на мемориале «Поклон».
Автор – Дмитрий Степанец, научный сотрудник Народного военно-исторического музея Великой Отечественной войны «Самбекские высоты».