В школьное время в начале каждого учебного года мне нравилось заглянуть в конец учебника, чтобы посмотреть, что нового мы узнаем. Помню своё удивление от того, что увидел восклицательный знак рядом с числами. Это было чем-то совсем непонятным.
n! – факториал, функция, которая предписывает перемножить все целые положительные числа до n включительно. Т.е. 5! = 1*2*3*4*5.
Такая функция была известна давно, но короткая ее запись в форме n! появилась в 1808 г. с подачи французского математика Кристиана Крампа.
С этой функцией связана одна занятность: факториал нуля равен единице (0!=1), также как и факториал единицы (1!=1). На этом моменте возникает риск поломки мозга, потому что правило «перемножь все числа до n» для нуля как-то плохо работает.
Остается либо принять на веру, либо копать. О, что это? Лопата в моих руках?
Факториал относится к разделу математики – комбинаторике. Она помогает нам изучать количество способов выбора, размещения и упорядочивания объектов какого-то множества. Например, сколько комбинаций у четырехзначного кодового замка – это к комбинаторике.
Так вот факториал показывает именно количество способов, которыми мы можем перегруппировать (переставить) n элементов во множестве. Рассмотрим на примерах.
Пусть в нашем множестве два элемента: яблоко и груша. Тогда я могу на столе положить слева яблоко, а справа грушу или наоборот. Больше вариантов нет. 2!=2.
Теперь на наш витаминный праздник пришел еще и апельсин. С этим оранжевым товарищем все становится веселее, у нас становится доступно аж шесть комбинаций: яблоко-груша-апельсин, яблоко-апельсин-груша, груша-яблоко-апельсин, груша-апельсин-яблоко, апельсин-яблоко-груша, апельсин-груша-яблоко. Больше нет, как ни ищи. 3!=6.
Если в нашем множестве один элемент, то его расположить на столе можно только одним способом 1!=1.
Теперь пусть во множестве нет элементов совсем, или, иначе говоря, элементов ноль. С "ничем" есть только один способ управиться - ничего не переставлять и не комбинировать. И тогда ноль элементов, пустота может быть расположена только одним этим способом.
0!=1.
Такое вот: крылья у слона есть, просто их число равно нулю.