«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств

«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии»

30 марта 1892 года родился Стефан Банах, польский математик, один из создателей функционального анализа

Ввёл понятие полных линейных нормированных пространств (теперь их называют банаховыми пространствами), которые нашли применение в различных областях математического анализа

Банах занимался также ортогональными рядами, внёс вклад в разработку теории меры и интегрирования

«Шкотская тетрадь», в которую записывали задачи, дошла до нас, была опубликована С. Уламом уже после войны

В частности, задачу стоимостью в жареного гуся удалось решить только в 1972 года

И шведский математик П. Энфло, решивший её, получил-таки в Варшаве своего жареного гуся в награду!

С именем Банаха связана задача, вошедшая в математический фольклор как задача о спичечных коробках Банаха:

Курящий математик Стефан Банах имел привычку носить в каждом из двух карманов по коробку спичек

Всякий раз, когда ему хотелось закурить, он выбирал наугад один из коробков и доставал из него спичку

Первоначально в каждом коробке было по n спичек

Но когда-то наступает момент, когда выбранный наугад коробок оказывается пустым

Какова вероятность того, что в другом коробке осталось k спичек?

Решение. Спички брались всего 2n – k раз (это число испытаний), причём n раз из коробка, оказавшегося пустым

Вероятность того, что взят коробок, оказавшийся пустым, равна 0,5, вероятность, что взят другой коробок 1 – 0,5 = 0,5

Получаем:

Р = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5ⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ⁻ⁿ = С₂ₙ₋ₖⁿ · 0,5²ⁿ⁻ᵏ

Можно ли трёхмерный шар разделить на конечное число каких-нибудь частей, из которых затем сложить два точно таких же шара?

Оказывается, в теории множеств с аксиомой выбора, математический (т.е. бесконечно делимый) шар в трёхмерном пространстве можно разделить на 5 частей так, что, двигая и поворачивая эти части в пространстве, из них можно собрать ДВА шара, равных исходному

Это интересное утверждение, известное как парадокс Банаха–Тарского, иллюстрирует пределы человеческой интуиции и показывает, что можно получить если пытаться оперировать с таким понятием как бесконечность

https://telegra.ph/Paradoks-Banaha-Tarskogo-09-06

Чтобы никто не волновался, стоит упомянуть, что к практическим приложениям (например, удвоению ВВП) этот результат неприменим, поскольку условие бесконечной делимости, согласно современным физическим представлениям, невыполнимо, сами части, на которые делится шар, не имеют объёма, т.е. являются неизмеримыми множествами