Квадратный корень
Дадим определение квадратному корню.
Определение 1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Что значит это определение? Разберем на конкретном примере. Допустим, надо вычислить √16. Надо найти такое число, которое при возведении в квадрат даст 16. Это число 4. То есть
Почему в определении говорится, что число под корнем должно быть неотрицательным? Почему не существует квадратного корня отрицательного числа? Все очень просто! Поскольку найти корень – значит найти число, квадрат которого равен подкоренному выражению, а любое число в квадрате – всегда положительное. Например,
Следовательно, число под корнем должно быть обязательно неотрицательным.
Замечание. Квадратный корень можно записать в виде степени одной второй. То есть
Если у нас под корнем находится квадрат числа, то корень и степень “сократятся”. Пример:
Как вычислить квадратный корень?
Чтобы вычислить квадратный корень, надо хорошо знать, чему равны квадраты чисел. То есть, надо знать, что 14 в квадрате равно 144 и, соответственно, квадратный корень 144 равен 12. Для того, чтобы в первое время было легче извлекать квадратный корень, можно воспользоваться таблицей квадратов.
Свойства корней
Разберем свойства корней.
Свойство 1. Корень произведения равен произведению корней:
где a и b неотрицательные числа.
Решение. Если напрямую умножать 81 на 64, получится большое число и самостоятельно найти корень такого числа очень тяжело. Можно воспользоваться приведенным способом, получим:
Решение. Квадратный корень трех и двенадцати вычислить без калькулятора не получится. Но можно воспользоваться свойством, тогда получим:
Свойство 2. Корень дроби равен корень числителя делить на корень знаменателя:
где a и b неотрицательные числа.
Решение. Воспользуемся свойством и получим:
Свойство 3. Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем:
где a неотрицательное число.
Решение. Воспользуемся свойством и получим:
Излечение целого числа из-под корня
Очень часто в примерах нам будет необходимо извлечь целое число из-под корня, чтобы, например, мы смогли после преобразований нескольких корней получить в итоге одно целое число. Как извлечь целое число из-под корня? Для этого можно число под корнем представить в виде произведения двух чисел, одно из которых будет являться квадратом какого-либо числа. С помощью первого свойство мы сможем извлечь это число. Разберем пример.
Решение. Конечно, можно воспользоваться первым свойством и находить корень числа 44 · 99 = 4356. Но найти корень числа 4356 без таблицы квадратов проблематично. Можно выделить целое число из-под корня. Имеем:
Если Вы плохо понимаете математику и хотите повысить уровень знаний, можете записаться ко мне на занятия! Со мной можно связаться через телеграмм: @rd_mach. Или через авито.