Приветствую читателей и подписчиков канала Тесты_математика!
Рассмотрим далеко непростое показательное уравнение.
Условие задачи.
Решите показательное уравнение: (27^x+64^x)/(36^x+48^x)= 24/16
В чём заключается сложность данного уравнения по сравнению с стандартным показательным уравнением вида a^x = b? Сложность кажущаяся заключается в виде нескольких выражений типа a^x.
Задача сводится к преобразованию заданного исходного уравнения с целью упрощения.
Упрощение и преобразование заданного уравнения.
Обычно преобразование начинается с выделении каждого основания степени простых множителей. Или совет:
Разложим на множители (27^x+64^x)/(36^x):
(27^x+64^x)/(36^x): = [3^3x + 4^3x)/[(4 * 9)^x + (4 * 4 * 3)^x ] =
[(3^x)^3 + (4^x)^3]/[4^x * 3^x * 3^x + 4^x * 4^x * 3^x] =
[3^x + 4^x] * [ (3^x)^2 - 3^x ( 4^x + (4^x)^2]/[3^x * 4^x (3^x + 4^x)].
Как вы заметили в преобразованиях вышеЮ числитель преобразовали, как сумма кубов, а в знаменатели выделили общий множитель и вынесли его за скобки. И в числителе, и в знаменателе получилось общее выражение, [3^x + 4^x], на которое моэно сократить.
Получилось следующее уравнение
[ (3^x)^2 - 3^x ( 4^x + (4^x)^2]/[3^x * 4^x] = 241/16.
Замена переменных.
Но в видео показано решение через a = 3^x; и b = 4^x.
И получится более простое выражение в левой части уравнения по виду:
(a^2 - a * b + b^2)/a * b = a/b - 1 + b/a, откуда сразу видна замена переменных.
a/ b = t. И получим новое уравнение:
t + 1/t = 1 + 241/16;
t + 1/t = 257/16;
Что приводит к выражению *t 0 16) * (16 * t - 1) = 0.
Откуда получим корни: t1 = 16; t2 - 1/16.
После преобразования, в том числе логарифмирования, получим значения корней.
x1 - log(3/4) 16; x2 = -log(3/4) 16.
Всё решение в более доступной форме показано в этом видео.
Видео.
Спасибо за просмотр статьи, условия задачи и решение.
Пишите вопросы в комментариях.
Подпишитесь на канал, Тесты_математика!
чтобы не пропустить новые публикации!
#задачи на логику, #головоломки, #математика, #тест