Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу вернуться к одному из самых интересных разделов математики - теории чисел, одним из краеугольных камней которого является исследование распределения и свойств простых чисел.
В 1958 году студент Калифорнийского университета Норман Гилбрайт записывал на салфетке последовательные простые числа, вычисляя их попарные разности:
В каждой следующей строке записывается разность по модулю (без учета знака) между числами в строке предыдущей.
"Что, если продолжить ряд дальше?" - подумал Норман
Оказывается, и это проверили товарищи Нормана по университету на одном из самых мощных в то время компьютере SWAC, для всех первых 63419 простых чисел, последовательности будут начинаться с 1!
С первого взгляда может показаться, что гипотеза Гилбрайта абсолютно тривиальна из-за серьезной ограниченности исходных условий: может быть, дело не в каких особенностях простых чисел, а в том, что утверждение верно для любой последовательности, которая начинается с 2, а потом продолжается только нечетными числами?
Например, Мартин Гарднер в 1980 году опубликовал гипотезу, согласно которой свойство гипотезы Гилбрайта (наличие 1 в первом члене каждой разностной последовательности) должно выполняться вообще для каждой последовательности, которая начинается с 2 и впоследствии содержит только нечетные числа и имеет ограниченную сверху разницу между членами.
Это оказалось ошибкой: для каждой такой последовательности существует числа, которые подчиняясь общему "потолку" скорости роста, нарушают идиллию.
Действительно, важнейшим фактором является скорость роста, которая отражается в разрыве между членами последовательности. Давайте его немного увеличим, добавив другое нечетное число (не простое):
Здесь уже один из членов, пока только последний, не равен 1. Может быть, если работать только с простым числами, получится иной результат? Начнем с одного пропущенного:
Пока все последовательности всё так же неизменно начинаются с 1. Пропустим еще и еще:
Итак, пропустив три простых числа, мы получили, что последний элемент отличается от 1.
Очевидно, что вся соль гипотезы заключается именно в законе распределения именно простых чисел, поэтому исследование "разрывов" между ними должно было бы дать результат:
На данный момент известно, что максимальный разрыв между простыми числами равен 2 254 930, и это для "соседей" у которых 86 853 знаков! И даже такой внушительный интервал не приводит к опровержению гипотезы Гилбрайта! На 2022 год утверждение Нормана Гилбрайта остается одной из нерешенных задач математики.
Сам же студент после озарения не только стал заниматься наукой (работал в области оптимизации в крупной корпорации RAND),но и нашел своё призвание на сцене, став карточным фокусником, выступающим в голливудском "Волшебном замке".
Именем Гилбрайта даже назван специальный способ перетасовки игральных карт, сохраняющий многие свойства колоды, так важные для трюков с ней. Например, если в колоде чередуются черные и красные карты, то после такой перестановки колода по-прежнему будет обладать тем же свойством. Спасибо за внимание!