Рассмотрим решение стереометрической задачи из учебника Балаяна. Условие задачи: В правильной шестиугольной призме А...F1, все рёбра которой равны 1, требуется найти угол между прямыми АА1 и Е1С.
Решение. Прямые АА1 и Е1С –являются скрещивающимися, так как не лежат в одной плоскости. Чтобы найти между ними угол, нужно найти угол между прямыми ЕЕ1 и Е1С, так как ЕЕ1 || АА1. Т.е. представляем себе, что мы перенесли параллельно самой себе прямую АА1 и она совместилась с прямой ЕЕ1 (рисунок 2).
Теперь соединим точки Е и С и получим треугольник ЕЕ1С, в котором будем искать угол ЕЕ1С (рисунок 3).
В этом треугольнике нам известна сторона ЕЕ1, она равна 1 по условию задачи. Чтобы найти сторону ЕС, рассмотрим треугольник ЕСD. У него угол ЕDC равен 120⁰, так как у нас АFEDCB правильный шестиугольник. Сумма всех его углов равна (n-2)•180=4•180=720⁰, и тогда его угол равен 720:6=120⁰.
Теперь, используя теорему косинусов, находим в треугольнике ЕСD сторону ЕС: EC²=ЕD²+СD² – 2 ED•СD•cos120⁰
EC²=1²+1²–2•1•1•(–1/2)
EC²=3
EC=Корень(3).
Далее можно решать задачу, используя понятие тангенса угла. Тангенс угла ЕЕ1С будет равен корню из трёх и, следовательно сам искомый угол равен 60⁰, но можно решить и немого иначе.
Найти сторону Е1С, например, по теореме Пифагора, так как треугольник ЕЕ1С прямоугольный, ведь прямая Е1Е перпендикулярна плоскости основания призмы.
Тогда Е1С²=Е1Е²+ЕС²
Е1С²=1²+(Корень(3))²
Е1С²=1+3
Е1С²=4
Е1С=2.
Теперь в в прямоугольном треугольнике ЕЕ1С у нас катет ЕЕ1 равен половине гипотенузы Е1С, следовательно, угол ЕСЕ1 равен 30⁰, а искомый нами угол ЕЕ1С тогда равен 90⁰-30⁰=60⁰.
Ответ: 60⁰.