Пока рисовала треугольник Серпинского, пришло в голову несколько задач. Со школьниками можно их решать в теме “Средняя линия треугольника”.
Алгоритм построения треугольника Серпинского рекурсивный, т.е. построение одно и то же, но для разных объектов. Сначала берем равносторонний треугольник и соединяем середины сторон. Т.е. проводим все средние линии. Получаем четыре равных равносторонних треугольника. Кстати, можно предложить детям доказать, что эти треугольники равны и равносторонние. Это будет шаг 1.
Три из получившихся треугольника ориентированы так же, как исходный(вершиной вверх). Другими словами гомотетичные исходному треугольнику. Для них повторяем алгоритм. Соединяем середины сторон. Это шаг 2. Опять получаем равные равносторонние треугольники и продолжаем процедуру. Таким образом, получается последовательность.
Задачи
📌Сколько равных равносторонних треугольников получится на 3 шаге? 5 шаге? n-ом шаге?
📌Если сторона исходного треугольника равна a, чему равна сторона треугольника получившегося на втором шаге? на четвертом шаге? на n-ом шаге?
📌Если площадь исходного треугольника равна S, чему равна площадь треугольника получившегося на третьем шаге? на четвертом шаге? на n-ом шаге?
📌В треугольники получившиеся на n-ом шаге вписали окружности. Найти расстоянием между центрами двух ближайших окружностей, касающихся одной стороны исходного треугольника.