Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу решить с Вами очень интересную систему уравнений с параметрами. Что самое замечательное - решить её очень нетривиальным методом. Итак, требуется найти значение параметра a, при котором система уравнений имеет единственное решение:
Первый подход к решению этой системы требует просто пристального взгляда. Обратите внимание. что если заменить x на y, система абсолютно не изменится!
Косинус - четная функция, остальное еще более тривиально
Этот факт позволяет нам сделать вывод о том, что :
Из этого следует:
В первом уравнении очень кстати пропадает третья переменная, а значит всё сводится к решению уравнения:
Условие в виде неравенства взято из третьего уравнения, ведь под знаком логарифма не должно быть отрицательных чисел. Теперь, подставляя переменные в исходную систему, получим следующее:
"Против лома нет приёма!" - мы пользуемся всё тем же предположением с учетом четности всех вхождений переменной z в уравнения.
Казалось бы, вот он и ответ...
Однако, при a=1 мы всего лишь показали, что есть решение (0,0,0), но не показали, что оно единственное! Поэтому надо подставить значение параметра в исходную систему и удостовериться в этом:
Рассмотрим подробнее третье и второе уравнение, и опять, хоть и с модификациями, применим всё тот же способ!
Таким образом, мы убедились в том, что при значении а = 1 у системы новых решений не появляется. Значит, ответ!
- Спасибо за внимание! Надеюсь, материал Вам понравился, и Вы поддержите его лайком и подпиской!