Слово "платить" встречается во всех славянских языках (чешск. "platit", сербск. "платити", словацк. "platiť", словенск. "plačati", польск. "płacić"), поэтому легко восстанавливается и праславянская форма - *платити.
Раз это слово появилось в праславянскую эпоху, то есть до разделения славян. Но, скажем, веке в пятом, монет у нас ещё не было. Расплачиваться могли ценными вещами, в том числе, шкурами ценных лесных зверей. Например, название древнерусской весовой и денежной единицы X-XV вв - "куна" - как раз связано с животным, с куницей, потому что её шкурки издавна выступали валютой. В Хорватии, кстати, эта куна до сих пор в ходу. Ну, понятно, не эта же самая, но слово именно то.
В общем, есть основания полагать, что слово "плат", означающее отрезок ткани, происходит от названия отреза шкуры (если копать совсем уж далеко, именно шкуры были нашими первыми тканями). Шкурами платили, и как будто напрашивается версия о том, что "платить" - как раз и означало "внести определённое количество шкурок".
Родственными словами являются также: "заплатка", "платье", "полотно", "платок". Любопытно, что готы наш плат заимствовали, в виде слова 𐍀𐌻𐌰𐍄 [plat] (означает тоже кусок ткани). А то вы говорите, что только мы у них заимствовали. Да нет, обмен шёл, вот и всё.
Намекает на связь денежных и тканевых единиц и вот такое свидетельство о славянах персидского учёного Ибн-Русты (Х век):
И если у кого из них есть дочь, то царь берет себе по одному из ее платьев в год, а если сын, то также берет по одному из платьев в год. У кого же нет ни сына, ни дочери, то дает по одному из платьев жены или рабыни в год.